اختبار t ولش: متى نستخدمه + أمثلة

عندما نريد المقارنة بين متوسطي مجموعتين مستقلتين، يمكننا الاختيار بين استخدام اختبارين مختلفين:

اختبار t للطالب: يفترض هذا الاختبار أن مجموعتي البيانات تم أخذ عينات منها من مجموعات سكانية تتبع التوزيع الطبيعي وأن المجموعتين لهما نفس التباين.

اختبار T ولش: يفترض هذا الاختبار أن كلا المجموعتين من البيانات يتم أخذ عينات منها من مجموعات سكانية تتبع التوزيع الطبيعي، لكنه لا يفترض أن هاتين المجموعتين لهما نفس التباين .

الفرق بين اختبار الطالب واختبار تي ويلش

هناك اختلافان في كيفية إجراء اختبار t للطالب واختبار t لـ Welch:

• إحصائية الاختبار
• درجات الحرية

اختبار الطالب:

إحصائية الاختبار: ( x ₁ – x ₂ ) / ق _ص (√ 1/ن ₁ + 1/ن ₂ )

حيث x ₁ و x ₂ هما متوسطا العينة، وn ₁ وn ₂ هما حجما العينة للعينة 1 والعينة 2، على التوالي، وحيث يتم حساب s _p على النحو التالي:

ث _ع = √ (ن ₁ -1)ث ₁ ² + (ن ₂ -1)ث ₂ ² / (ن ₁ +ن ₂ -2)

حيث s ₁ ² و s ₂ ² هما تباينات العينة.

درجات الحرية: ن ₁ + ن ₂ – 2

اختبار ويلش T

إحصائية الاختبار: ( x ₁ – x ₂ ) / (√ ق ₁ ² /n ₁ + ق ₂ ² /n ₂ )

درجات الحرية: (ق ₁ ² /ن ₁ + ق ₂ ² /ن ₂ ) ² / { [ (ق ₁ ² / ن ₁ ) ² / (ن ₁ – 1) ] + [ (ق ₂ ² / ن ₂ ) ² / ( ن ₂ – 1 ) ] }

تأخذ صيغة حساب درجات الحرية لاختبار Welch’s t في الاعتبار الفرق بين الانحرافين المعياريين. إذا كانت العينتان لهما نفس الانحرافات المعيارية، فإن درجات حرية اختبار t لـ Welch ستكون تمامًا نفس درجات الحرية في اختبار t للطالب.

عادة، الانحرافات المعيارية للعينتين ليست هي نفسها، وبالتالي فإن درجات الحرية في اختبار ويلش تميل إلى أن تكون أصغر من درجات الحرية في اختبار الطالب.

من المهم أيضًا ملاحظة أن درجات الحرية في اختبار ويلش ليست عددًا صحيحًا بشكل عام. إذا كنت تقوم بالاختبار يدويًا، فمن الأفضل التقريب إلى أقل عدد صحيح. إذا كنت تستخدم برنامجًا إحصائيًا مثل R ، فسيكون البرنامج قادرًا على توفير القيمة العشرية لدرجات الحرية.

متى يجب عليك استخدام اختبار ويلش تي؟

يجادل بعض الأشخاص بأن اختبار t لـ Welch يجب أن يكون الخيار الافتراضي لمقارنة متوسطات مجموعتين مستقلتين لأنه يؤدي بشكل أفضل من اختبار t للطالب عندما تكون أحجام العينات والتباينات غير متساوية بين المجموعات، كما أنه يعطي نتائج متطابقة عندما تكون أحجام العينة مختلفة. الاختلافات متساوية.

من الناحية العملية، عند مقارنة متوسطات مجموعتين، فمن غير المرجح أن تكون الانحرافات المعيارية لكل مجموعة هي نفسها. لذلك، من الجيد دائمًا استخدام اختبار Welch’s t، حتى لا تضطر إلى وضع افتراضات حول مساواة التباينات.

أمثلة على استخدام اختبار ويلش

بعد ذلك، سنقوم بإجراء اختبار Welch’s t على العينتين التاليتين لتحديد ما إذا كان متوسط عدد سكانهما يختلف بشكل كبير عند مستوى دلالة 0.05:

العينة 1: 14، 15، 15، 15، 16، 18، 22، 23، 24، 25، 25

العينة 2: 10، 12، 14، 15، 18، 22، 24، 27، 31، 33، 34، 34، 34

وسنوضح كيفية إجراء الاختبار بثلاث طرق مختلفة:

• بالأيدي
• استخدم مايكروسوفت اكسل
• استخدم لغة البرمجة الإحصائية R

اختبار T ولش باليد

لإجراء اختبار Welch t يدويًا، نحتاج أولاً إلى إيجاد متوسطات العينة، وتباينات العينة، وأحجام العينات:

×1 _– 19.27
×2 _– 23.69
س ₁ ² – 8:42 مساءً
المادة ₂ ² – 83.23
# ₁ – 11
# ₂ – 13

ثم يمكننا إدخال هذه الأرقام للعثور على إحصائية الاختبار:

إحصائية الاختبار: ( x ₁ – x ₂ ) / (√ ق ₁ ² /n ₁ + ق ₂ ² /n ₂ )

إحصائية الاختبار: (19.27 – 23.69) / (√ 20.42/11 + 83.23/13 ) = -4.42 / 2.873 = -1.538

درجات الحرية: (ق ₁ ² /ن ₁ + ق ₂ ² /ن ₂ ) ² / { [ (ق ₁ ² / ن ₁ ) ² / (ن ₁ – 1) ] + [ (ق ₂ ² / ن ₂ ) ² / ( ن ₂ – 1 ) ] }

درجات الحرية: (20.42/11 + 83.23/13) ² / { [ (20.42/11) ² / (11 – 1) ] + [ (83.23/13) ² / (13 – 1) ] } = 18.137. نقوم بتقريب هذه النتيجة إلى أقرب عدد صحيح، 18 .

وأخيرًا، سنجد القيمة الحرجة t في جدول توزيع t والتي تقابل اختبارًا ثنائي الجانب حيث ألفا = 0.05 لـ 18 درجة حرية:

القيمة الحرجة t هي 2.101 . نظرًا لأن القيمة المطلقة لإحصائيات الاختبار (1.538) ليست أكبر من القيمة الحرجة t، فإننا نفشل في رفض الفرضية الصفرية للاختبار. لا توجد أدلة كافية للقول بأن متوسطات المجموعتين تختلف بشكل كبير.

اختبار T ولش مع Excel

لإجراء اختبار T لـ Welch في برنامج Excel، نحتاج أولاً إلى تنزيل برنامج Analysis ToolPak المجاني. إذا لم تكن قد قمت بتنزيله بالفعل في Excel، فقد كتبت برنامجًا تعليميًا سريعًا حول كيفية تنزيله .

بمجرد قيامك بتنزيل Analysis ToolPak، يمكنك اتباع الخطوات الموضحة أدناه لإجراء اختبار Welch’s t على العينتين:

1. أدخل البيانات. أدخل قيم البيانات للعينتين في العمودين A وB والعناوين العينة 1 والعينة 2 في الخلية الأولى من كل عمود.

2. قم بإجراء اختبار T لـ Welch باستخدام Analysis ToolPak. انتقل إلى علامة التبويب “البيانات” على طول الشريط العلوي. بعد ذلك، ضمن مجموعة التحليل ، انقر فوق رمز Analysis ToolPak.

في مربع الحوار الذي يظهر، انقر فوق اختبار t: عينتان تفترضان تباينات غير متساوية ، ثم انقر فوق موافق.

أخيرًا، قم بملء القيم أدناه ثم انقر فوق “موافق”:

يجب أن تظهر النتيجة التالية:

لاحظ أن نتائج هذا الاختبار تتوافق مع النتائج التي حصلنا عليها يدويًا:

• إحصائيات الاختبار هي -1.5379 .
• القيمة الحرجة على الوجهين هي 2.1009 .
• وبما أن القيمة المطلقة لإحصائيات الاختبار ليست أكبر من القيمة الحرجة ثنائية الطرف، فإن متوسطي المجموعتين لا يختلفان إحصائيًا.
• علاوة على ذلك، فإن القيمة p ثنائية الطرف للاختبار هي 0.14، وهي أكبر من 0.05 وتؤكد أن متوسطي المجموعتين لا يختلفان إحصائيًا.

اختبار T ولش باستخدام R

يوضح التعليمة البرمجية التالية كيفية إجراء اختبار Welch’s t لعينتينا باستخدام لغة البرمجة الإحصائية R :

 #create two vectors to hold sample data values
sample1 <- c(14, 15, 15, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 25, 25)
sample2 <- c(10, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 27, 31, 33, 34, 34, 34)

#conduct Welch's test
t.test( sample1, sample2)

# Welch Two Sample t-test
#
#data: sample1 and sample2
#t = -1.5379, df = 18.137, p-value = 0.1413
#alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
#95 percent confidence interval:
#-10.453875 1.614714
#sample estimates:
#mean of x mean of y 
#19.27273 23.69231 
#

تعرض الدالة t.test() ‎ المخرجات ذات الصلة التالية:

• t: إحصائية الاختبار = -1.5379
• df : درجات الحرية = 18.137
• القيمة p: القيمة p للاختبار ثنائي الذيل = 0.1413
• فاصل الثقة 95% : فاصل الثقة 95% للفرق الحقيقي في متوسط عدد السكان = (-10.45، 1.61)

تتوافق نتائج هذا الاختبار مع تلك التي تم الحصول عليها يدويًا وباستخدام برنامج Excel: الفرق في متوسطات هاتين المجموعتين ليس ذو دلالة إحصائية عند مستوى ألفا = 0.05.