التباين

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 5, 2023 إحصائيات 0 Comments

نوضح في هذه المقالة ما هو التباين، والذي يسمى أيضًا التباين، وكيفية حسابه. ستجد معادلة التباين، وهي مثال ملموس لحساب التباين، وبالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من حساب تباين أي مجموعة بيانات باستخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت.

نوضح لك أيضًا كيفية العثور على تباين البيانات المجمعة، حيث يتم ذلك بطريقة مختلفة. وأخيرا نعلمك الفرق بين التباين السكاني وتباين العينة والفرق بين التباين والانحراف المعياري وخصائص هذا المقياس الإحصائي.

ما هو التباين؟

في الإحصاء، التباين هو مقياس للتشتت الذي يشير إلى تباين متغير عشوائي. التباين يساوي مجموع مربعات البقايا مقسومًا على إجمالي عدد المشاهدات.

ضع في اعتبارك أن المتبقي يُفهم على أنه الفرق بين قيمة نقطة البيانات الإحصائية ومتوسط مجموعة البيانات.

في نظرية الاحتمالات، رمز التباين هو الحرف اليوناني سيجما تربيع (σ ² ). على الرغم من أنه يتم تمثيله عادةً كـ Var(X) ، حيث يكون X هو المتغير العشوائي الذي يتم حساب التباين منه.

بشكل عام، تفسير قيمة التباين للمتغير العشوائي أمر بسيط. كلما زادت قيمة التباين، زاد تشتت البيانات. والعكس صحيح، كلما كانت قيمة التباين أصغر، قل التشتت في سلسلة البيانات. ومع ذلك، عند تفسير التباين، يجب على المرء أن يكون حذرا من القيم المتطرفة ، لأنها يمكن أن تحرف قيمة التباين.

التباين، والمقاييس الأخرى التي تعتبر إلى جانب التشتت هي المدى والانحراف المعياري والانحراف المتوسط ومعامل التباين.

كيفية حساب الفجوة

ولحساب التباين يجب تنفيذ الخطوات التالية:

أوجد الوسط الحسابي لمجموعة البيانات.
احسب البقايا، التي تم تعريفها على أنها الفرق بين القيم ومتوسط مجموعة البيانات.
مربع كل ما تبقى.
أضف جميع النتائج المحسوبة في الخطوة السابقة.
قسّم على إجمالي عدد البيانات. والنتيجة التي تم الحصول عليها هي تباين سلسلة البيانات.

في الختام، صيغة حساب التباين في مجموعة البيانات هي:

ذهب:

$X$

هو المتغير العشوائي الذي تريد حساب التباين له.
$x_i$

هي قيمة البيانات

$i$

.
$n$

هو العدد الإجمالي للملاحظات.
$\overline{X}$

هو متوسط المتغير العشوائي

$X$

.

👉 يمكنك استخدام الآلة الحاسبة أدناه لحساب تباين أي مجموعة بيانات.

لذلك، لاستخراج التباين من سلسلة بيانات، من الضروري أن تعرف كيفية حساب المتوسط الحسابي. إذا كنت لا تتذكر كيفية القيام بذلك، يمكنك التحقق من ذلك في المقالة المرتبطة أعلاه.

مثال على الانحراف

الآن وبعد أن عرفنا تعريف التباين، سنحل تمرينًا خطوة بخطوة حتى تتمكن من رؤية كيفية الحصول على تباين سلسلة البيانات.

من شركة متعددة الجنسيات، النتيجة الاقتصادية التي حققتها في السنوات الخمس الماضية معروفة، حيث حصلت في الغالب على أرباح ولكنها في عام واحد تكبدت خسائر كبيرة: 11.5، 2، -9، 7 مليون يورو. احسب تباين مجموعة البيانات هذه.

كما رأينا في الشرح أعلاه، أول شيء يتعين علينا القيام به للعثور على تباين سلسلة البيانات هو حساب وسطها الحسابي:

$\overline{X}=\cfrac{11+5+2+(-9)+7}{5}=3,2$

وبمجرد أن نعرف القيمة المتوسطة للبيانات، يمكننا استخدام صيغة التباين:

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2}{n}$

نقوم باستبدال البيانات المقدمة في بيان التمرين في الصيغة:

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle (11-3,2)^2+(5-3,2)^2+(2-3,2)^2+(-9-3,2)^2+(7-3,2)^2}{5}$

وأخيرا، كل ما تبقى هو حل العمليات لحساب التباين:

$\begin{aligned}Var(X)&=\cfrac{7,8^2+1,8^2+(-1,2)^2+(-12,2)^2+3,8^2}{5}\\[2ex]&=\cfrac{60,84+3,24+1,44+148,84+14,44}{5}\\[2ex]&= \cfrac{228,8}{5} \\[2ex]&=45,76 \ \text{millones de euros}^2\end{aligned}$

لاحظ أن وحدات التباين هي نفس وحدات البيانات الإحصائية ولكنها مربعة، ولهذا السبب يبلغ التباين في مجموعة البيانات هذه 45.76 مليون يورو ² .

حاسبة الفجوة

أدخل مجموعة بيانات إحصائية في الآلة الحاسبة التالية لحساب تباينها. يجب فصل البيانات بمسافة وإدخالها باستخدام النقطة كفاصل عشري.

التباين للبيانات المجمعة

لحساب تباين البيانات المجمعة في فترات ، يجب اتباع الخطوات التالية:

أوجد متوسط البيانات المجمعة.
حساب بقايا البيانات المجمعة.
مربع كل ما تبقى.
اضرب كل نتيجة سابقة في تكرار الفاصل الزمني لها.
أضف مجموع كل القيم التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة.
قسّم على العدد الإجمالي للملاحظات. الرقم الناتج هو تباين البيانات المجمعة.

بمعنى آخر، صيغة حساب تباين البيانات المجمعة في فترات هي كما يلي:

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2\cdot f_i }{n}$

على الرغم من أن الصيغة أعلاه تُستخدم عادةً، إلا أنه يمكن أيضًا استخدام التعبير الجبري أدناه لأنه مكافئ:

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2\cdot f_i }{n}-\overline{X}^2$

على سبيل المثال، سوف نجد التباين في سلسلة البيانات المجمعة التالية:

أولا، نحتاج إلى تحديد متوسط البيانات المجمعة. للقيام بذلك، نضيف عمودًا في الجدول التكراري يحتوي على حاصل ضرب علامة الصنف والتكرار:

نقوم الآن بحساب متوسط البيانات المجمعة عن طريق قسمة مجموع العمود المضاف على إجمالي عدد البيانات:

$\overline{X}=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\cdot f_i}{n}=\cfrac{750}{30}=25$

ومن متوسط البيانات المحسوبة يمكننا إضافة الأعمدة الثلاثة التالية:

لذا فإن تباين مجموعة البيانات المجمعة هو مجموع العمود الأخير مقسومًا على إجمالي عدد البيانات المرصودة:

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2\cdot f_i }{n}=\cfrac{4200}{30}=140$

التباين والانحراف المعياري

التباين والانحراف المعياري (أو الانحراف المعياري) هما مقياسان للتشتت، وبالتالي يشير كلاهما إلى درجة تشتت مجموعة البيانات. ومع ذلك، فإن الفرق بين التباين والانحراف المعياري هو أن التباين بشكل عام له قيم أكبر، لأنه مربع الانحراف المعياري.

يتم تمثيل الانحراف المعياري عمومًا بالحرف اليوناني سيجما (σ)، ولهذا السبب يتم تمثيل التباين بالحرف سيجما تربيع (σ ² )، حيث إنها العلاقة الرياضية الموجودة بين مقياسي التشتت هذين.

$Var(X)=\sigma^2$

لذا، بمجرد قيامك بحساب قيمة التباين لمجموعة من البيانات، يمكنك بسهولة العثور على قيمة الانحراف المعياري لنفس المجموعة ببساطة عن طريق أخذ الجذر التربيعي للتباين.

$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$

التباين السكاني وتباين العينة

منطقيا، يشير التباين السكاني إلى حساب تباين المجتمع الإحصائي، وبدلا من ذلك، يتم تطبيق تباين العينة على حساب تباين العينة. ومع ذلك، فإن هذين المفهومين مختلفان لأن صيغة التباين السكاني تختلف عن صيغة تباين العينة.

عادة في تمارين التباين، إذا لم يخبرونا بخلاف ذلك، للعثور على تباين مجموعة البيانات المقدمة، يتعين علينا استخدام صيغة التباين السكاني ، وهي التي شرحناها في بداية المقالة:

$\sigma^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2}{n}$

ولكن ربما في بعض المسائل يطلب منك التعامل مع البيانات الإحصائية كعينة، وفي هذه الحالة نحتاج إلى استخدام صيغة تباين العينة :

$s^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2}{n-1}$

لاحظ أنه للإشارة إلى أنه يتم حساب التباين السكاني، تتم الإشارة إليه بالحرف اليوناني σ، ولكن عند حساب تباين العينة، يتم استخدام الحرف s.

كما ترون، فإن الفرق الوحيد بين الصيغتين هو أنه في تباين العينة نحتاج إلى القسمة على إجمالي عدد الملاحظات ناقص 1، على سبيل المثال، إذا كان هناك 30 عنصر بيانات في المجموع، فسنقسم على 29 لكن حساب البسط يتم بنفس الطريقة تمامًا.

خصائص التباين

يتميز التباين بالخصائص التالية:

سيكون تباين أي متغير عشوائي دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر. وبالمثل، إذا كان التباين صفراً، فهذا يعني أن جميع البيانات الإحصائية هي نفسها.

$Var(x)\ge 0$

من الواضح أن تباين قيمة واحدة هو صفر.

$Var(a)=0\qquad a\in \mathbb{R}$

إن تباين منتج عددي بمتغير يعادل مربع العدد مضروبًا في تباين المتغير.

$Var(aX)=a^2\cdot Var(X)\qquad a\in \mathbb{R}$

إن تباين مجموع متغيرين تابعين يعادل مجموع تباين كل متغير على حدة بالإضافة إلى ضعف التباين بين المتغيرين.

$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$

وبالتالي، إذا كان المتغيران مستقلين، لتحديد تباين مجموعهما يكفي إضافة تبايناتهما:

$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$

يمكن أيضًا تعريف الانحراف بالتوقع الرياضي باستخدام الصيغة التالية:

$Var(X)=E\bigl[(X-\overline{X})^2\bigr]$

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر