العشريات

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 5, 2023 إحصائيات 0 Comments

في هذه المقالة نوضح ما هي العشريات وكيف يتم حسابها. ستجد أيضًا العديد من الأمثلة التي تم حلها خطوة بخطوة للحسابات العشرية، وبالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من حساب الأجزاء العشرية لأي عينة إحصائية باستخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت.

ما هي العشريات؟

في الإحصاء، العشريات هي القيم التسع التي تقسم مجموعة من البيانات المرتبة إلى عشرة أجزاء متساوية. بحيث يمثل العُشر الأول والثاني والثالث 10%، 20%، 30%،… من العينة أو السكان.

على سبيل المثال، القيمة العشرية الرابعة أعلى من 40% من البيانات، ولكنها أقل من بقية البيانات.

يتم تمثيل العشريات بالحرف الكبير D ومؤشر العشري، أي أن العشري الأول هو D ₁ ، والعشيري الثاني هو D ₂ ، والعشيري الثالث هو D ₃ ، وما إلى ذلك.

👉 يمكنك استخدام الآلة الحاسبة أدناه لحساب العشرية لأي مجموعة بيانات.

تجدر الإشارة إلى أن العشريات هي مقياس للوضع غير المركزي بنفس الطريقة مثل الربعيات والخماسيات والنسب المئوية. يمكنك التحقق من معنى كل نوع من هذه الأنواع الكمية على موقعنا.

بالإضافة إلى ذلك، فإن العُشر الخامس يعادل الوسيط والربيع الثاني، حيث أنهما يقسمان مجموعة البيانات بأكملها إلى جزأين متساويين.

كيفية حساب العشريات

لحساب الموضع العشري لسلسلة من البيانات الإحصائية، قم بضرب الرقم العشري في مجموع إجمالي عدد البيانات بالإضافة إلى واحد وتقسيم النتيجة على عشرة.

وبالتالي فإن الصيغة العشرية هي:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1, 2, 3,4,5,6,7,8,9$

يرجى ملاحظة: هذه الصيغة تخبرنا بموضع العلامة العشرية، وليس قيمة العلامة العشرية. سيكون العشري هو البيانات الموجودة في الموضع الذي حصلت عليه الصيغة.

لكن في بعض الأحيان نتيجة هذه الصيغة تعطينا رقما عشريا، لذلك يجب علينا التمييز بين حالتين اعتمادا على ما إذا كانت النتيجة رقما عشريا أم لا:

إذا كانت نتيجة الصيغة رقمًا بدون جزء عشري ، فإن العلامة العشرية هي البيانات الموجودة في الموضع الذي توفره الصيغة أعلاه.
إذا كانت نتيجة الصيغة رقمًا بجزء عشري ، فسيتم حساب القيمة العشرية باستخدام الصيغة التالية:

$D=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

حيث x _i و x _i+1 هما أرقام المواضع التي يقع بينها الرقم الذي تم الحصول عليه بواسطة الصيغة الأولى، و d هو الجزء العشري من الرقم الذي تم الحصول عليه بواسطة الصيغة الأولى.

قد تظن الآن أن الحصول على الأجزاء العشرية من العينة الإحصائية أمر معقد، لكنه عمليًا بسيط للغاية. إذا قرأت المثالين التاليين، فمن المؤكد أنك ستفهم الأمر بشكل أفضل.

ملحوظة : المجتمع العلمي ليس متفقًا تمامًا على كيفية حساب الأعداد العشرية، لذلك يمكنك العثور على كتب إحصائية تشرح ذلك بشكل مختلف قليلاً.

مثال على الحساب العشري

كما رأيت أعلاه، يعتمد حساب الأرقام العشرية على ما إذا كان الرقم الذي تعطينا إياه الصيغة الأولى هو رقم عشري أم لا، ولهذا السبب قمنا بإعداد مثالين تم حلهما أدناه، واحد لكل حالة. على أية حال، تذكر أنه إذا كانت لديك أي أسئلة حول تكوين العشريات، فيمكنك طرحها في التعليقات.

مثال 1

بالنظر إلى البيانات التالية، من الأصغر إلى الأكبر، أوجد العشرية الأولى والثالثة والثامنة من العينة.

تم فرز البيانات الموجودة في هذا التمرين بالفعل، لذا ليست هناك حاجة لتغيير الترتيب، وإلا فسيتعين علينا فرز البيانات من الأصغر إلى الأكبر أولاً.

كما هو موضح أعلاه، فإن الصيغة التي تجعل من الممكن العثور على مواضع الفئات العشرية هي كما يلي:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1,2,3,4,5,6,7,8,9$

حجم العينة لهذا التمرين هو 29 ملاحظة، لذا لحساب موضع العشرية الأولى يجب عليك استبدال 29 بـ n و1 بـ k :

$\cfrac{1\cdot (29+1)}{10}=3\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad D_1=85$

نتيجة الصيغة هي 3، وبالتالي فإن العشري الأول سيكون في المركز الثالث من القائمة المرتبة، وهذه القيمة تقابل 85.

الآن نطبق نفس الإجراء مرة أخرى ولكن مع العشري الثالث. نستخدم الصيغة لاستبدال k بـ 3:

$\cfrac{3\cdot (29+1)}{10}=9\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad D_3=97$

وبالتالي فإن العُشر الثالث سيكون العنصر الموجود في المركز التاسع، أي 97.

أخيرًا، نقوم بنفس العملية ولكن نضع الرقم 8 في الصيغة لتحديد العُشر الثامن:

$\cfrac{8\cdot (29+1)}{10}=24\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad D_8=131$

سيكون العشري الثامن هو الرقم الموجود في الموضع 24 من قائمة البيانات المطلوبة، وبالتالي فإن العشري الثامن هو 131.

مثال 2

من البيانات الموجودة في الجدول التالي، احسب الأقسام العشرية 4 و7 و9.

كما في المثال السابق، للحصول على مواضع العشريات يجب عليك استخدام الصيغة التالية:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1,2,3,4,5,6,7,8,9$

في هذه الحالة، حجم العينة هو 42، لذلك للعثور على موضع العشري الرابع يجب عليك استبدال المعلمة n بـ 42 و k بـ 4:

$\cfrac{4\cdot (42+1)}{10}=17,2$

ولكن هذه المرة حصلنا على رقم عشري من الصيغة، لذلك نحن بحاجة إلى تطبيق الصيغة التالية لحساب العشري الدقيق:

$D=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

الرقم الذي تم الحصول عليه من الصيغة الأولى هو 17.2، وبالتالي فإن العشري الرابع يقع بين السابع عشر والثامن عشر، وهما 109 و112 على التوالي. لذلك، x _i يساوي 109، x _{i+ 1} هو 112 و d هو الجزء العشري. من العدد الذي تم الحصول عليه، أي 0.2.

$D_4=109+0,2\cdot (112-109)=109,6$

نكرر نفس العملية لإيجاد العشري السابع. نحسب أولاً موضع العشري:

$\cfrac{7\cdot (42+1)}{10}=30,1$

من الصيغة حصلنا على الرقم 30.1، مما يعني أن العُشري سيكون بين الموضعين 30 و 31، وقيمتهما هي 154 و 159. وبالتالي فإن حساب العُشري الدقيق هو:

$D_7=154+0,1\cdot (159-154)=154,5$

وأخيرا، نطبق نفس الطريقة مرة أخرى للحصول على العشري التاسع. نحدد موقف العشري:

$\cfrac{9\cdot (42+1)}{10}=38,7$

الرقم الذي تم الحصول عليه هو رقم عشري ويقع بين 38 و 39، وتتوافق مواضعه مع القيمتين 189 و 196. وبالتالي فإن حساب العشري 9 هو:

$D_9=189+0,7\cdot (196-189)=193,9$

حاسبة العشرية

أدخل مجموعة بيانات إحصائية في الآلة الحاسبة أدناه لحساب العشريات. يجب فصل البيانات بمسافة وإدخالها باستخدام النقطة كفاصل عشري.

الأعشار في البيانات المجمعة

لحساب الفئات العشرية عندما يتم تجميع البيانات في فترات ، نحتاج أولاً إلى العثور على الفاصل الزمني أو الحاوية التي يقع فيها العلامة العشرية باستخدام الصيغة التالية:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1, 2, 3,3,4,5,6,7,8,9$

وبالتالي فإن العشري سيكون في الفترة التي يكون تكرارها المطلق أكبر مباشرة من الرقم الذي تم الحصول عليه في التعبير السابق.

وبمجرد أن نعرف بالفعل الفترة التي ينتمي إليها العُشر، يجب علينا تطبيق الصيغة التالية للعثور على القيمة الدقيقة للعُشر:

$D_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{10}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i \qquad k=1,2,3,4,5,6,7,8,9$

ذهب:

L _i هو الحد الأدنى للفاصل الزمني الذي يقع فيه العشري.
n هو العدد الإجمالي للبيانات الإحصائية.
F _i-1 هو التردد المطلق التراكمي للفاصل الزمني السابق.
f _i هو التكرار المطلق للفاصل الزمني الذي يقع فيه العُشري.
I _i هو عرض الفاصل العشري.

لكي تتمكن من رؤية كيفية القيام بذلك، يوجد أدناه تمرين مكتمل يتم فيه حساب الفئات العشرية 3 و5 و8 من البيانات التالية المجمعة حسب الفواصل الزمنية.

نظرًا لأنه تم تجميع البيانات، فإن حساب كل عشري يتكون من خطوتين: أولاً، ابحث عن الفاصل الزمني الذي يقع فيه العشري، ثم احسب القيمة الدقيقة للعشيري. لذلك نجد الفاصل الزمني للعشري الثالث:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10}$

$\cfrac{3\cdot (70+1)}{10} =21,3 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [30,35)$

ستكون الفترة العشرية هي التي يكون ترددها التراكمي المطلق أكبر مباشرة من 21.3، وفي هذه الحالة هي الفترة [30.35) التي يكون ترددها التراكمي المطلق 31. والآن بعد أن عرفنا الفاصل العشري، نطبق الصيغة التالية لإيجاد القيمة الدقيقة للعشري:

$D_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{10}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$D_3=30+ \cfrac{\displaystyle\frac{3\cdot (70+1)}{10}-17}{14}\cdot 5=31,54$

يجب علينا الآن إعادة تطبيق الطريقة للحصول على العُشر الخامس. نحدد أولاً الفاصل الزمني الذي يقع فيه:

$\cfrac{5\cdot (70+1)}{10} =35,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [35,40)$

النتيجة 35 تعني أنها تقع في الفترة [35,40) ولكن ليس بسبب وجود 35 في تعبير الفترة، ولكن لأن ترددها المطلق المتراكم (42) هو الأعلى مباشرة. وبمجرد تحديد الفاصل الزمني، نطبق الصيغة الثانية للعملية:

$D_5=35+ \cfrac{\displaystyle\frac{5\cdot (70+1)}{10}-31}{11}\cdot 5=37,05$

وأخيرًا، نجد العشري الثامن. للقيام بذلك، نحسب أولاً الفاصل الزمني:

$\cfrac{8\cdot (70+1)}{10} =56,8 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [40,45)$

التردد المطلق التراكمي مباشرة فوق 56.8 هو 58، وبالتالي فإن النطاق العشري الثامن هو [40.45]. لذلك يكفي تحديد القيمة الدقيقة للعشري:

$D_8=40+ \cfrac{\displaystyle\frac{8\cdot (70+1)}{10}-42}{16}\cdot 5=44,63$

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر