5 أمثلة ملموسة للتوزيع الهندسي

التوزيع الهندسي هو توزيع احتمالي يستخدم لنمذجة احتمالية مواجهة عدد معين من حالات الفشل قبل تجربة النجاح الأول في سلسلة من تجارب برنولي.

تجربة برنولي هي تجربة ذات نتيجتين محتملتين فقط – “النجاح” أو “الفشل” – واحتمال النجاح هو نفسه في كل مرة يتم فيها إجراء التجربة.

مثال على مقال برنولي هو رمي العملة. لا يمكن للعملة أن تستقر إلا على وجهين (قد نطلق على الصورة “ضربة” والوجه “فشل”) واحتمال النجاح في كل رمية هو 0.5، على افتراض أن العملة عادلة.

إذا كان المتغير العشوائي X يتبع توزيعًا هندسيًا، فيمكن إيجاد احتمالية حدوث حالات فشل k قبل تجربة النجاح الأول من خلال الصيغة التالية:

P(X=k) = (1-p) ^kp

ذهب:

• ك: عدد حالات الفشل قبل النجاح الأول
• ع: احتمال النجاح في كل تجربة

في هذه المقالة، نشارك 5 أمثلة لاستخدام التوزيع الهندسي في العالم الحقيقي.

مثال 1: رميات الزاوية

لنفترض أننا نريد أن نعرف عدد المرات التي يتعين علينا فيها رمي عملة معدنية حتى تظهر الصورة.

يمكننا استخدام الصيغ التالية لتحديد احتمالية حدوث 0، 1، 2، 3 حالات فشل، وما إلى ذلك. قبل أن تهبط العملة على الرؤوس:

ملحوظة: يمكن أن تواجه العملة 0 “فشل” إذا ظهرت عليها صورة عند الرمية الأولى.

P(X=0) = (1-.5) ⁰ (.5) = 0.5

P(X=1) = (1-.5) ¹ (.5) = 0.25

P(X=2) = (1-.5) ² (.5) = 0.125

ف(X=3) = (1-0.5) ³ (0.5) = 0.0625

مثال 2: مؤيدو القانون

لنفترض أن أحد الباحثين ينتظر خارج إحدى المكتبات ليسأل الأشخاص عما إذا كانوا يدعمون قانونًا معينًا. احتمال أن يدعم شخص ما القانون هو p = 0.2.

يمكننا استخدام الصيغ التالية لتحديد احتمالية إجراء مقابلات مع 0، 1، 2 شخص، وما إلى ذلك. قبل أن يتحدث الباحث مع من يؤيد القانون:

P(X=0) = (1-.2) ⁰ (.2) = 0.2

P(X=1) = (1-.2) ¹ (.2) = 0.16

P(X=2) = (1-.2) ² (.2) = 0.128

مثال 3: عدد العيوب

لنفترض أنه من المعروف أن 5% من جميع الأدوات الموجودة على خط التجميع معيبة.

يمكننا استخدام الصيغ التالية لتحديد احتمالية فحص عناصر واجهة المستخدم 0، 1، 2، وما إلى ذلك. قبل أن يصادف المفتش أداة معيبة:

P(X=0) = (1-.05) ⁰ (.05) = 0.05

ف(X=1) = (1-0.05) ¹ (0.05) = 0.0475

ف(X=2) = (1-0.05) ² (0.05) = 0.04512

مثال 4: عدد حالات الإفلاس

لنفترض أننا نعلم أن 4% من الأشخاص الذين يزورون بنكًا معينًا يفعلون ذلك لتقديم طلب للإفلاس. لنفترض أن أحد المصرفيين يريد معرفة احتمال لقاءه بأقل من 10 أشخاص قبل مقابلة شخص يعلن إفلاسه.

يمكننا استخدام حاسبة التوزيع الهندسي حيث p = 0.04 و x = 10 لنجد أن احتمال مقابلة أقل من 10 أشخاص قبل مقابلة شخص مفلس هو 0.33517 .

مثال 5: عدد حالات انقطاع الشبكة

لنفترض أننا نعلم أن احتمال تعرض شركة معينة لانقطاع الشبكة في أسبوع معين هو 10%. لنفترض أن الرئيس التنفيذي للشركة يريد معرفة احتمالية استمرار الشركة لمدة 5 أسابيع أو أكثر دون مواجهة انقطاع في الشبكة.

يمكننا استخدام حاسبة التوزيع الهندسي مع p = 0.10 و x = 5 لنجد أن احتمال استمرار العمل لمدة 5 أسابيع أو أكثر دون فشل هو 0.59049 .

مصادر إضافية

6 أمثلة ملموسة للتوزيع الطبيعي
5 أمثلة ملموسة للتوزيع ذي الحدين
5 أمثلة ملموسة لتوزيع بواسون
5 أمثلة ملموسة للتوزيع الموحد