كيفية حساب فترات الثقة: 3 أمثلة للمسائل

فاصل الثقة للمتوسط هو نطاق من القيم التي من المحتمل أن تحتوي على متوسط سكاني بمستوى معين من الثقة.

نستخدم الصيغة التالية لحساب فاصل الثقة للمتوسط:

فاصل الثقة = x +/- t*(s/√ n )

ذهب:

• x : متوسط العينة
• t: القيمة الحرجة لـ t
• s: عينة الانحراف المعياري
• ن: حجم العينة

ملاحظة : نستبدل القيمة الحرجة بالقيمة الحرجة az في الصيغة إذا كان الانحراف المعياري للسكان (σ) معروفًا وكان حجم العينة أكبر من 30.

توضح الأمثلة التالية كيفية إنشاء فاصل ثقة لمتوسط في ثلاثة سيناريوهات مختلفة:

• الانحراف المعياري للسكان (σ) غير معروف
• الانحراف المعياري للسكان (σ) معروف ولكن n ≥ 30
• الانحراف المعياري للسكان (σ) معروف و n > 30

دعنا نذهب!

مثال 1: فاصل الثقة عندما تكون σ غير معروفة

لنفترض أننا نريد حساب فاصل ثقة بنسبة 95% لمتوسط الارتفاع (بالبوصة) لنوع نباتي معين.

لنفترض أننا قمنا بجمع عينة عشوائية بسيطة تحتوي على المعلومات التالية:

• متوسط العينة ( س ) = 12
• حجم العينة (ن) = 19
• عينة الانحراف المعياري (الانحراف) = 6.3

يمكننا استخدام الصيغة التالية لبناء فترة الثقة هذه:

• 95% CI = س +/- ر*(ق/√ ن )
• 95% CI = 12 +/- t _{n-1، α/2} *(6.3/√ 19 )
• 95% CI = 12 +/- t _18.025 *(6.3/√ 19 )
• 95% CI = 12 +/- 2.1009*(6.3/√ 19 )
• 95% CI = (8,964، 15,037)

فاصل الثقة 95% لمتوسط ارتفاع السكان لهذا النوع النباتي المعين هو (8.964 بوصة، 15.037 بوصة) .

ملاحظة رقم 1 : استخدمنا حاسبة توزيع t العكسية للعثور على قيمة t الحرجة المرتبطة بـ 18 درجة حرية ومستوى ثقة قدره 0.95.

ملاحظة رقم 2 : نظرًا لأن الانحراف المعياري للسكان (σ) غير معروف، فقد استخدمنا القيمة الحرجة t عند حساب فاصل الثقة.

مثال 2: فاصل الثقة عندما تكون σ معروفة ولكن n ≥ 30

لنفترض أننا نريد حساب فترة ثقة تبلغ 99% لمتوسط درجات امتحان دخول جامعي معين.

لنفترض أننا قمنا بجمع عينة عشوائية بسيطة تحتوي على المعلومات التالية:

• متوسط العينة ( س ) = 85
• حجم العينة (ن) = 25
• الانحراف المعياري للسكان (σ) = 3.5

يمكننا استخدام الصيغة التالية لبناء فترة الثقة هذه:

• 99% CI = س +/- ر*(ق/√ ن )
• 99% CI = 85 +/- t _{n-1، α/2} *(3.5/√ 25 )
• 99% CI = 85 +/- t _24.005 *(3.5/√ 25 )
• 99% CI = 85 +/- 2.7969*(3.5/√ 25 )
• 99% سي = (83.042، 86.958)

فاصل الثقة 99% لمتوسط درجات السكان في امتحان القبول بالكلية هو (83.042، 86.958) .

ملاحظة رقم 1 : استخدمنا حاسبة توزيع t العكسية للعثور على قيمة t الحرجة المرتبطة بـ 24 درجة حرية ومستوى ثقة قدره 0.99.

ملاحظة رقم 2 : نظرًا لأن الانحراف المعياري للسكان (σ) كان معروفًا ولكن حجم العينة (n) كان أقل من 30، فقد استخدمنا القيمة الحرجة t عند حساب فترة الثقة.

مثال 3: فاصل الثقة عندما تكون σ معروفة وn > 30

لنفترض أننا نريد حساب فترة ثقة تبلغ 90% لمتوسط وزن نوع معين من السلاحف.

لنفترض أننا قمنا بجمع عينة عشوائية بسيطة تحتوي على المعلومات التالية:

• متوسط العينة ( س ) = 300
• حجم العينة (ن) = 40
• الانحراف المعياري للسكان (σ) = 15

يمكننا استخدام الصيغة التالية لبناء فترة الثقة هذه:

• 90% CI = س +/- ض*(σ/√ ن )
• 90% CI = 300 +/- 1.645*(15/√ 40 )
• 90% CI = (296,099، 303,901)

فترة الثقة 90٪ لمتوسط وزن السكان لهذا النوع من السلاحف هي (83.042، 86.958) .

ملاحظة رقم 1 : استخدمنا حاسبة قيمة Z الحرجة للعثور على قيمة Z الحرجة المرتبطة بمستوى أهمية 0.1.

ملاحظة رقم 2 : نظرًا لأن الانحراف المعياري للسكان (σ) كان معروفًا وكان حجم العينة (n) أكبر من 30، فقد استخدمنا القيمة الحرجة z عند حساب فاصل الثقة.

مصادر إضافية

توفر البرامج التعليمية التالية معلومات إضافية حول فترات الثقة:

4 أمثلة لفترات الثقة في الحياة الحقيقية
كيفية كتابة استنتاج فاصل الثقة
فرضيات فترة الثقة الستة التي يجب التحقق منها