ما هي بقايا بيرسون؟ (التعريف & #038؛ مثال)
تُستخدم بقايا بيرسون في اختبار مربع كاي للاستقلالية لتحليل الفرق بين رقم الخلية المرصود ورقم الخلية المتوقع في جدول الطوارئ.
صيغة حساب المتبقي لبيرسون هي:
r ij = (O ij – E ij ) / √ E ij
ذهب:
- r ij : بقايا بيرسون لخلية العمود i والصف j
- O ij : القيمة الملاحظة لخلية العمود i والصف j
- E ij : القيمة المتوقعة لخلية العمود i والصف j
وهناك مقياس مماثل هو معيار بيرسون المتبقي (المعدل) ، والذي يتم حسابه على النحو التالي:
r ij = (O ij – E ij ) / √ E ij (1-n i+ )(1-n +j )
ذهب:
- r ij : بقايا بيرسون لخلية العمود i والصف j
- O ij : القيمة الملاحظة لخلية العمود i والصف j
- E ij : القيمة المتوقعة لخلية العمود i والصف j
- p i+ : إجمالي الصف مقسومًا على الإجمالي الكلي
- p + j : إجمالي العمود مقسومًا على الإجمالي الكلي
يتم عادةً توزيع بقايا بيرسون القياسية بمتوسط 0 وانحراف معياري قدره 1. وتشير أي بقايا بيرسون القياسية بقيمة مطلقة أعلى من عتبات معينة (على سبيل المثال 2 أو 3) إلى عدم التوافق.
يوضح المثال التالي كيفية حساب بقايا بيرسون عمليًا.
مثال: حساب بقايا بيرسون
لنفترض أن الباحثين يريدون استخدام اختبار مربع كاي للاستقلالية لتحديد ما إذا كان الجنس مرتبطًا بتفضيل حزب سياسي أم لا.
قرروا أخذ عينة عشوائية بسيطة من 500 ناخب وسؤالهم عن تفضيلاتهم الحزبية.
ويعرض جدول الطوارئ التالي نتائج المسح:
| جمهوري | ديمقراطي | مستقل | مجموع | |
| ذكر | 120 | 90 | 40 | 250 |
| أنثى | 110 | 95 | 45 | 250 |
| مجموع | 230 | 185 | 85 | 500 |
قبل حساب بقايا بيرسون، يجب علينا أولاً حساب الأعداد المتوقعة لكل خلية في جدول الاحتمالات. للقيام بذلك، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
القيمة المتوقعة = (مجموع الصفوف * مجموع الأعمدة) / مجموع الجدول.
على سبيل المثال، القيمة المتوقعة للرجال الجمهوريين هي: (230*250) / 500 = 115 .
يمكننا تكرار هذه الصيغة للحصول على القيمة المتوقعة لكل خلية في الجدول:
| جمهوري | ديمقراطي | مستقل | مجموع | |
| ذكر | 115 | 92.5 | 42.5 | 250 |
| أنثى | 115 | 92.5 | 42.5 | 250 |
| مجموع | 230 | 185 | 85 | 500 |
ثم يمكننا حساب المتبقي من بيرسون لكل خلية في الجدول.
على سبيل المثال، سيتم حساب المتبقي من بيرسون للخلية التي تحتوي على رجال جمهوريين على النحو التالي:
- r ij = (O ij – E ij ) / √ E ij
- ص ط = (120 – 115) / √ 115
- ص ط = 0.466
يمكننا تكرار هذه الصيغة للحصول على قيمة بيرسون المتبقية لكل خلية في الجدول:
| جمهوري | ديمقراطي | مستقل | |
| ذكر | 0.446 | -0.259 | -0.383 |
| أنثى | -0.446 | 0.259 | 0.383 |
ثم يمكننا حساب المتبقي القياسي لبيرسون لكل خلية في الجدول.
على سبيل المثال، سيتم حساب بقايا بيرسون الموحدة للخلية التي تحتوي على رجال جمهوريين على النحو التالي:
- r ij = (O ij – E ij ) / √ E ij (1-p i+ )(1-p +j )
- ص ط = (120 – 115) / √ 115(1-250/500)(1-230/500)
- ص ط = 0.897
يمكننا تكرار هذه الصيغة للحصول على متبقي بيرسون القياسي لكل خلية في الجدول:
| جمهوري | ديمقراطي | مستقل | |
| ذكر | 0.897 | -0.463 | -0.595 |
| أنثى | -0.897 | 0.463 | 0.595 |
يمكننا أن نرى أن أياً من بقايا بيرسون الموحدة ليس لها قيمة مطلقة أكبر من 3، مما يشير إلى أن أياً من الخلايا لا تساهم في نقص كبير في الملاءمة.
إذا استخدمنا هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لإجراء اختبار كاي مربع للاستقلال، فسنجد أن القيمة p للاختبار هي 0.649198 .
وبما أن هذه القيمة الاحتمالية لا تقل عن 0.05، فليس لدينا أدلة كافية للقول بوجود علاقة بين الجنس وتفضيل الحزب السياسي.
مصادر إضافية
تشرح البرامج التعليمية التالية كيفية إجراء اختبار كاي مربع للاستقلال باستخدام برامج إحصائية مختلفة:
مقدمة لاختبار استقلالية مربع كاي
كيفية إجراء اختبار استقلالية مربع كاي في برنامج إكسل
كيفية إجراء اختبار استقلال مربع كاي في R
اختبار مربع كاي لآلة حاسبة الاستقلال
About Author
دكتور بنيامين أندرسون
مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر