تناقض الفرضية

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 3, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو اختبار الفرضيات في الإحصاء. لذلك، سوف تتعلم كيفية إجراء اختبار الفرضيات، والأنواع المختلفة من اختبارات الفرضيات والأخطاء المحتملة التي يمكن ارتكابها عند إجراء اختبار الفرضيات.

ما هو اختبار الفرضيات؟

اختبار الفرضية هو إجراء يستخدم لرفض أو رفض فرضية إحصائية. في اختبار الفرضيات، نحكم على ما إذا كانت قيمة المعلمة السكانية متوافقة مع ما لوحظ في عينة من السكان المذكورين.

أي أنه في اختبار الفرضيات، يتم تحليل عينة إحصائية، وبناءً على النتائج التي تم الحصول عليها، يتم تحديد ما إذا كان سيتم رفض أو قبول فرضية محددة مسبقًا.

ضع في اعتبارك أنه بشكل عام، من خلال اختبار الفرضيات، لا يمكن للمرء أن يستنتج بيقين تام أن الفرضية صحيحة أو خاطئة، ولكن يتم رفض الفرضية ببساطة أو لا تعتمد على النتائج التي تم الحصول عليها. لذلك، عند اختبار الفرضية، لا يزال من الممكن ارتكاب خطأ حتى لو كان هناك دليل إحصائي على أن القرار المتخذ هو الأكثر احتمالا.

في الإحصاء، يُطلق على اختبار الفرضية أيضًا اسم اختبار الفرضية ، أو اختبار الفرضية ، أو اختبار الأهمية .

تم إنشاء نظرية اختبار الفرضيات من قبل الإحصائي الإنجليزي رونالد فيشر وتم تطويرها بواسطة جيرزي نيمان وإيغون بيرسون.

الفرضية الصفرية والفرضية البديلة

يتكون اختبار الفرضية من نوعين من الفرضيات الإحصائية:

الفرضية الصفرية (H ₀ ) : هذه هي الفرضية التي تؤكد أن الفرضية الأولية التي لدينا بشأن المعلمة السكانية خاطئة. وبالتالي فإن فرضية العدم هي الفرضية التي نرغب في رفضها.
الفرضية البديلة ( _H1 ) : هي فرضية البحث التي من المفترض إثبات حقيقتها. أي أن الفرضية البديلة هي فرضية مسبقة للباحث ولمحاولة إثبات صحتها سيتم تنفيذ فرضية التباين.

ومن الناحية العملية، يتم صياغة الفرضية البديلة قبل الفرضية الصفرية، حيث أن الفرضية هي التي يراد إثباتها بالتحليل الإحصائي لعينة من البيانات. ثم يتم صياغة الفرضية الصفرية ببساطة عن طريق مناقضة الفرضية البديلة.

أنواع اختبار الفرضيات

يمكن تصنيف اختبار الفرضيات إلى نوعين مختلفين:

اختبار الفرضيات ثنائية الذيل (أو اختبار الفرضيات ثنائية الذيل) : تنص الفرضية البديلة لاختبار الفرضيات على أن معلمة المجتمع “مختلفة” عن قيمة محددة.
اختبار الفرضية أحادية الطرف (أو اختبار الفرضية أحادية الطرف) : تشير الفرضية البديلة لاختبار الفرضيات إلى أن معلمة المجتمع “أكبر من” (الذيل الأيمن) أو “أقل من” (الذيل الأيسر) قيمة محددة.

اختبار الفرضيات ثنائية الذيل

$\begin{cases}H_0: \mu=\mu_0\\[2ex]H_1:\mu\neq\mu_0\end{cases}$

اختبار الفرضية أحادية الذيل (الذيل الأيمن)

$\begin{cases}H_0: \mu\leq \mu_0\\[2ex]H_1:\mu>\mu_0\end{cases}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”102″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> </div> <div class=$

اختبار الفرضية أحادية الذيل (الذيل الأيسر)

$\begin{cases}H_0: \mu\geq\mu_0\\[2ex]H_1:\mu<\mu_0\end{cases}$

منطقة الرفض ومنطقة القبول لاختبار الفرضيات

وكما سنرى بالتفصيل أدناه، فإن اختبار الفرضيات يتكون من حساب قيمة مميزة لكل نوع من اختبارات الفرضيات، وتسمى هذه القيمة بإحصائيات اختبار الفرضيات. وبالتالي، بمجرد حساب إحصائية التباين، من الضروري ملاحظة أي من المنطقتين التاليتين تقع فيها للوصول إلى نتيجة:

منطقة الرفض (أو المنطقة الحرجة) : هذه هي مساحة الرسم البياني للتوزيع المرجعي لاختبار الفرضية والذي يتضمن رفض الفرضية الصفرية (وقبول الفرضية البديلة).
منطقة القبول : هذه هي مساحة الرسم البياني للتوزيع المرجعي لاختبار الفرضية والذي يتضمن قبول الفرضية الصفرية (ورفض الفرضية البديلة).

باختصار، إذا كانت إحصائية الاختبار تقع ضمن منطقة الرفض، يتم رفض الفرضية الصفرية وقبول الفرضية البديلة. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت إحصائية الاختبار تقع ضمن منطقة القبول، يتم قبول الفرضية الصفرية وترفض الفرضية البديلة.

تسمى القيم التي تحدد حدود منطقة الرفض ومنطقة القبول بالقيم الحرجة ، وبالمثل، يسمى الفاصل الزمني للقيم الذي يحدد منطقة الرفض بفاصل الثقة . وتعتمد كلتا القيمتين على مستوى الأهمية المختار.

➤ انظر: مستوى أهمية ألفا

من ناحية أخرى، يمكن أيضًا اتخاذ قرار رفض أو قبول الفرضية الصفرية من خلال مقارنة القيمة p (أو القيمة p) التي تم الحصول عليها من اختبار الفرضية مع مستوى الأهمية المختار.

➤ انظر: ما هي القيمة p؟

كيفية إجراء اختبار الفرضيات

لإجراء اختبار الفرضيات، يجب اتباع الخطوات التالية:

اذكر الفرضية الصفرية والفرضية البديلة لاختبار الفرضيات.
تحديد مستوى أهمية ألفا (α) المطلوب.
حساب إحصائية التباين الفرضية.
تحديد القيم الحرجة لاختبار الفرضيات لمعرفة منطقة الرفض ومنطقة القبول لاختبار الفرضيات.
لاحظ ما إذا كانت إحصائية تباين الفرضية موجودة في منطقة الرفض أو منطقة القبول.
إذا كانت الإحصائية تقع ضمن منطقة الرفض، فسيتم رفض الفرضية الصفرية (ويتم قبول الفرضية البديلة). ولكن إذا كانت الإحصائية تقع ضمن منطقة القبول، يتم قبول الفرضية الصفرية (ويُرفض الفرضية البديلة).

➤ انظر: اختبار الفرضية للوسط
➤ انظر: اختبار الفرضيات للتناسب
➤ انظر: اختبار الفرضيات للتباين

أخطاء اختبار الفرضيات

في اختبار الفرضيات، عند رفض إحدى الفرضيات وقبول فرضية الاختبار الأخرى، يمكن ارتكاب أحد الخطأين:

الخطأ من النوع الأول : هذا هو الخطأ الذي يحدث عند رفض الفرضية الصفرية عندما تكون صحيحة بالفعل.
خطأ النوع الثاني : هذا هو الخطأ الذي يحدث عند قبول الفرضية الصفرية عندما تكون خاطئة بالفعل.

ومن ناحية أخرى فإن احتمال ارتكاب كل نوع من الأخطاء يسمى على النحو التالي:

احتمال ألفا (α) : هو احتمال ارتكاب الخطأ من النوع الأول.
احتمال بيتا (β) : هو احتمال ارتكاب الخطأ من النوع الثاني.

وبالمثل، تعرف قوة اختبار الفرضيات بأنها احتمالية رفض الفرضية الصفرية ( _H0 ) عندما تكون خاطئة، أو بمعنى آخر، هي احتمال اختيار الفرضية البديلة ( _H1 ) عندما تكون صحيحة. وبالتالي فإن قوة اختبار الفرضية تساوي 1-β.

إحصائيات اختبار الفرضيات

إحصائية اختبار الفرضية هي قيمة التوزيع المرجعي لاختبار الفرضية المستخدمة لتحديد ما إذا كانت الفرضية الصفرية مرفوضة أم لا. إذا وقعت إحصائية الاختبار في منطقة الرفض، يتم رفض الفرضية الصفرية (ويقبل الفرضية البديلة)، أما إذا وقعت إحصائية الاختبار في منطقة القبول، يتم قبول الفرضية الصفرية (والفرضية البديلة هي مرفوضة). الفرضية البديلة).

يعتمد حساب إحصائية اختبار الفرضية على نوع الاختبار. ولذلك، فإن صيغة حساب الإحصائية لكل نوع من اختبارات الفرضيات موضحة أدناه.

اختبار الفرضيات للمتوسط

صيغة إحصائية اختبار الفرضية للمتوسط ذو التباين المعروف هي:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

ذهب:

$Z$

هي إحصائية التباين الفرضية للمتوسط.
$\overline{x}$

هي وسيلة العينة.
$\mu$

هو متوسط القيمة المقترحة.
$\sigma$

هو الانحراف المعياري للسكان.
$n$

هو حجم العينة.

بمجرد حساب إحصائية اختبار الفرضية للمتوسط، يجب تفسير النتيجة لرفض الفرضية الصفرية أم لا:

إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط ذو وجهين، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت القيمة المطلقة للإحصاء أكبر من القيمة الحرجة Z _α/2 .
إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط يتطابق مع الذيل الأيمن، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أكبر من القيمة الحرجة Z _α .
إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط يطابق الذيل الأيسر، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أقل من القيمة الحرجة -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

وفي هذه الحالة يتم الحصول على القيم الحرجة من جدول التوزيع الطبيعي الموحد.

ومن ناحية أخرى فإن صيغة إحصائية اختبار الفرضية للمتوسط ذو التباين غير المعروف هي:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

ذهب:

$t$

هي إحصائية اختبار الفرضية للمتوسط، والتي يتم تحديدها من خلال توزيع الطالب.
$\overline{x}$

هي وسيلة العينة.
$\mu$

هو متوسط القيمة المقترحة.
$s$

هو الانحراف المعياري للعينة.
$n$

هو حجم العينة.

كما كان من قبل، يجب تفسير النتيجة المحسوبة لإحصائية الاختبار بالقيمة الحرجة لرفض أو عدم فرضية العدم:

إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط ذو وجهين، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت القيمة المطلقة للإحصاء أكبر من القيمة الحرجة t _α/2|n-1 .
إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط يتطابق مع الذيل الأيمن، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أكبر من القيمة الحرجة t _α|n-1 .
إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط يتطابق مع الذيل الأيسر، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أقل من القيمة الحرجة -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

عندما يكون التباين غير معروف، يتم الحصول على قيم الاختبار الحرجة من جدول توزيع الطالب.

اختبار الفرضية للتناسب

صيغة إحصائية اختبار الفرضية للنسبة هي:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

ذهب:

$Z$

هو اختبار الفرضية الإحصائية للنسبة.
$\widehat{p}$

هي نسبة العينة
$p$

هي قيمة النسبة المقترحة.
$n$

هو حجم العينة.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

هو الانحراف المعياري للنسبة.

ضع في اعتبارك أنه لا يكفي حساب إحصائية اختبار الفرضية للنسبة، ولكن يجب بعد ذلك تفسير النتيجة:

إذا كان اختبار الفرضية للنسبة ذو وجهين، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت القيمة المطلقة للإحصاء أكبر من القيمة الحرجة Z _α/2 .
إذا كان اختبار الفرضية للنسبة يتطابق مع الذيل الأيمن، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أكبر من القيمة الحرجة Z _α .
إذا كان اختبار الفرضية للنسبة يطابق الذيل الأيسر، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أقل من القيمة الحرجة -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

تذكر أنه يمكن الحصول بسهولة على القيم الحرجة من جدول التوزيع الطبيعي القياسي.

اختبار الفرضيات للتباين

صيغة حساب إحصائية اختبار الفرضية للتباين هي:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

ذهب:

$\chi^2$

هي إحصائية اختبار الفرضية للتباين، والتي لها توزيع مربع كاي.
$n$

هو حجم العينة.
$s^2$

هو تباين العينة.
$\sigma^2$

هو تباين السكان المقترح.

ولتفسير نتيجة الإحصائية، يجب مقارنة القيمة التي تم الحصول عليها بالقيمة الحرجة للاختبار.

إذا كان اختبار فرضية التباين ثنائي الطرف، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أكبر من القيمة الحرجة.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

أو إذا كانت القيمة الحرجة أقل من

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
إذا كان اختبار الفرضية للتباين يتطابق مع الذيل الأيمن، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أكبر من القيمة الحرجة
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
إذا كان اختبار فرضية التباين يتطابق مع الذيل الأيسر، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أقل من القيمة الحرجة
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

يتم الحصول على قيم اختبار الفرضية الحرجة للتباين من جدول توزيع مربع كاي. لاحظ أن درجات الحرية لتوزيع مربع كاي هي حجم العينة ناقص 1.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

ما هو اختبار الفرضيات؟

الفرضية الصفرية والفرضية البديلة

أنواع اختبار الفرضيات

منطقة الرفض ومنطقة القبول لاختبار الفرضيات

كيفية إجراء اختبار الفرضيات

أخطاء اختبار الفرضيات

إحصائيات اختبار الفرضيات

اختبار الفرضيات للمتوسط

اختبار الفرضية للتناسب

اختبار الفرضيات للتباين

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

Add a Comment