دالة الكثافة

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 5, 2023 احتمالا 0 Comments

في هذه المقالة سوف تكتشف ما هي دالة الكثافة، وكيف يتم حساب الاحتمال من دالة الكثافة وخصائص هذه الدالة الاحتمالية. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرًا على رؤية الاختلافات بين دالة الكثافة ودالة التوزيع.

ما هي وظيفة الكثافة؟

دالة الكثافة ، وتسمى أيضًا دالة الكثافة الاحتمالية ، هي دالة رياضية تصف احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر قيمة معينة.

بمعنى آخر، تحدد دالة الكثافة المرتبطة بمتغير رياضيًا احتمالات أن يأخذ المتغير قيمة.

على سبيل المثال، لنفترض أن احتمال أن يكون طول شخص بالغ أكثر من 1.80 مترًا في مجتمع ما هو 35%، فإن دالة الكثافة ستشير إلى احتمال 35% عند حساب الاحتمال المذكور.

في بعض الأحيان يتم اختصار دالة كثافة الاحتمال بصيغة PDF.

احسب الاحتمال باستخدام دالة الكثافة

لإيجاد احتمال أن يأخذ متغير مستمر قيمة في فترة ما، من الضروري حساب تكامل دالة الكثافة المرتبطة بالمتغير المذكور بين حدود الفترة.

$\displaystyle P[a\leq X\leq b]=\int_a^b f(x)dx$

ذهب

$f(x)$

هي دالة الكثافة للمتغير العشوائي المستمر.

أو بعبارة أخرى، احتمال أن يأخذ المتغير قيمة في فترة ما يعادل المساحة الواقعة تحت دالة الكثافة في تلك الفترة.

لاحظ أنه لا يمكن إجراء حساب الاحتمالية إلا بهذه الطريقة إذا كان المتغير الإحصائي يتبع توزيعًا مستمرًا، مثل التوزيع الطبيعي والتوزيع الأسي وتوزيع بواسون وما إلى ذلك.

خصائص وظيفة الكثافة

تتميز دالة الكثافة بالخصائص التالية:

قيمة دالة الكثافة هي صفر أو موجبة لأي قيمة لـ x.

$f(x)\geq 0$

بالإضافة إلى ذلك، فإن القيمة القصوى لدالة الكثافة تساوي 1.

$f(x)\leq 1$

في الواقع، المساحة الإجمالية تحت الرسم البياني لدالة الكثافة تعادل دائمًا 1 بغض النظر عن المتغير، لأنها تتوافق مع مجموعة جميع الاحتمالات.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1$

كما هو موضح في القسم السابق، يتم حساب احتمالية أن يأخذ المتغير المستمر قيمة في فترة ما باستخدام تكامل دالة الكثافة في تلك الفترة.

$\displaystyle P[a\leq X\leq b]=\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$

دالة الكثافة ووظيفة التوزيع

في هذا القسم الأخير، سنرى كيف تختلف دالة الكثافة ووظيفة التوزيع، حيث أنهما نوعان من الوظائف الاحتمالية التي يتم الخلط بينها بشكل عام.

رياضياً، دالة التوزيع تعادل تكامل دالة الكثافة ، وبالتالي فإن دالة التوزيع تصف الاحتمال التراكمي لمتغير مستمر.

أي أن صورة دالة التوزيع لأي قيمة تساوي احتمال أن يأخذ المتغير تلك القيمة أو قيمة أقل.

وبالتالي فإن العلاقة الرياضية بين هذين النوعين من الوظائف هي كما يلي:

$\displaystyle P[X\leq a]=\int_{-\infty}^a f(x)dx=F(a)$

ذهب

$f(x)$

هي وظيفة الكثافة و

$F(x)$

هي وظيفة التوزيع.

لاحظ كيف يتغير التمثيل الرسومي لدالة الكثافة بالنسبة لوظيفة التوزيع الخاصة بها لمتغير يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 1 وانحراف معياري قدره 0.5:

لمعرفة المزيد حول ميزة التوزيع، انقر على الرابط أدناه:

➤ انظر: وظيفة التوزيع

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر