التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 3, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي في الإحصائيات. لذلك، سوف تكتشف ما هي خصائص التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي والرسم البياني لهذا النوع من التوزيع الاحتمالي.

ما هو التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي؟

التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، أو التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، هو توزيع احتمالي يحدد متغيرًا عشوائيًا يتبع لوغاريتمه التوزيع الطبيعي.

ولذلك، إذا كان للمتغير X توزيع طبيعي، فإن الدالة الأسية e ^x لها توزيع لوغاريتمي طبيعي.

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

لاحظ أنه لا يمكن استخدام التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي إلا عندما تكون قيم المتغير موجبة، لأن اللوغاريتم عبارة عن دالة تأخذ وسيطة موجبة واحدة فقط.

من بين التطبيقات المختلفة للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي في الإحصائيات، نميز استخدام هذا التوزيع لتحليل الاستثمارات المالية وإجراء تحليلات الموثوقية.

يُعرف التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي أيضًا باسم توزيع تينوت ، ويُكتب أحيانًا أيضًا باسم التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي أو التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي .

مؤامرة التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

والآن بعد أن عرفنا تعريف التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، سنرى في هذا القسم كيف يختلف التمثيل البياني للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي باختلاف قيم وسطه الحسابي وانحرافه المعياري.

الرسم البياني لوظيفة الكثافة للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي هو كما يلي:

من ناحية أخرى، فإن الرسم البياني الاحتمالي التراكمي للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي هو كما يلي:

مخطط الاحتمال التراكمي للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

خصائص التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

يتميز التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي بالخصائص التالية:

يتم تعريف التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي بقيمة معلمتين، وسطها الحسابي μ وتباينها σ ² .

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

يتكون مجال التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي من أرقام حقيقية موجبة، لأن اللوغاريتم لا يقبل القيم السالبة أو الصفرية.

$x\in (0,+\infty)$

توقع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي يساوي الرقم e مرفوعًا إلى مجموع المتوسط بالإضافة إلى التباين مقسومًا على اثنين.

$\displaystyle E[X]=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}$

ومن ناحية أخرى، يمكن حساب تباين التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي بالتعبير التالي:

$Var(X)=\left(e^{\sigma^2}-1\right)\cdot e^{2\mu+\sigma^2$

نمط التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي يعادل الرقم e مرفوعًا إلى متوسط التوزيع.

$Mo=e^\mu$

يمكن تحديد معامل الانحراف للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي من خلال تطبيق الصيغة التالية:

$\displaystyle A=\left(e^{\sigma^2}+2\right)\cdot\sqrt{e^{\sigma^2}-1}$

صيغة دالة الكثافة للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي هي:

$\displaystyle P[X=x]=\frac{1}{\sigma \cdot x\cdot \sqrt{2 \pi}}\cdot \exp\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

صيغة دالة الاحتمال التراكمي للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي هي:

$\displaystyle P[X\leq x]=\Phi\left(\frac{\ln x-\mu}{\sigma}\right)$

ذهب

$\Phi$

هي دالة الاحتمالية التراكمية للتوزيع الطبيعي القياسي .

المتوسط الحسابي للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي أكبر من قيمة وسيطه.

$\mu > Me” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”16″ width=”61″ style=”vertical-align: -4px;”></p></p> </div>  <div class=$

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

ما هو التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي؟

مؤامرة التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

خصائص التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

Add a Comment