ما هو شرط النجاح/الفشل في الإحصاء؟

تجربة برنولي هي تجربة ذات نتيجتين محتملتين فقط – “النجاح” أو “الفشل” – واحتمال النجاح هو نفسه في كل مرة يتم فيها إجراء التجربة.

مثال على مقال برنولي هو رمي العملة. لا يمكن للعملة أن تستقر إلا على وجهين (قد نطلق على الصورة “ضربة” والوجه “فشل”) واحتمال النجاح في كل رمية هو 0.5، على افتراض أن العملة عادلة.

في كثير من الأحيان، في الإحصاء، عندما نريد حساب الاحتمالات التي تتضمن أكثر من عدد قليل من تجارب برنولي، نستخدم التوزيع الطبيعي كتقريب. ومع ذلك، للقيام بذلك نحتاج إلى التحقق من استيفاء شرط النجاح/الفشل :

شرط النجاح/الفشل: يجب أن يكون هناك على الأقل 10 حالات نجاح متوقعة و10 حالات فشل متوقعة في العينة من أجل استخدام التوزيع الطبيعي كتقدير.

مكتوبًا في التدوين، نحتاج إلى التحقق من الأمرين التاليين:

• العدد المتوقع للنجاحات هو 10 على الأقل: np ≥ 10
• العدد المتوقع لحالات الفشل هو 10 على الأقل: n(1-p) ≥ 10

حيث n هو حجم العينة و p هو احتمال نجاح تجربة معينة.

ملاحظة: بدلاً من ذلك، تشير بعض الأدلة إلى أن هناك حاجة إلى 5 حالات نجاح متوقعة و5 حالات فشل متوقعة فقط لاستخدام التقريب العادي. ومع ذلك، 10 هو الأكثر استخدامًا وهو رقم أكثر تحفظًا. لذلك سوف نستخدم هذا الرقم في هذا البرنامج التعليمي.

مثال: التحقق من حالة النجاح/الفشل

لنفترض أننا نريد إنشاء فترة ثقة لنسبة السكان في إحدى المقاطعات الذين يفضلون قانونًا معينًا. نختار عينة عشوائية مكونة من 100 ساكن ونسألهم عن موقفهم من القانون. وهنا النتائج:

• حجم العينة ن = 100
• النسبة لصالح القانون ع = 0.56

نود استخدام الصيغة التالية لحساب فاصل الثقة:

فاصل الثقة = p +/- z*√ p(1-p) / n

ذهب:

• ع: نسبة العينة
• z: قيمة z التي تتوافق مع التوزيع الطبيعي
• ن: حجم العينة

تستخدم هذه الصيغة قيمة az من التوزيع الطبيعي. لذلك، في هذه الصيغة نستخدم التوزيع الطبيعي لتقريب التوزيع ذي الحدين.

ومع ذلك، للقيام بذلك نحتاج إلى التحقق من استيفاء شرط النجاح/الفشل . دعونا نتحقق من أن عدد النجاحات وعدد حالات الفشل في العينة لا يقل عن 10:

عدد النجاحات: np = 100*.56 = 56

عدد حالات الفشل: n(1-p) = 100*(1-.56) = 44

كلا الرقمين يساوي أو أكبر من 10، لذا يمكننا استخدام الصيغة أعلاه لحساب فاصل الثقة.

مصادر إضافية

الشرط الآخر الذي يجب استيفاؤه لاستخدام التوزيع الطبيعي كتقريب للتوزيع ذي الحدين هو أن حجم العينة التي نعمل معها لا يتجاوز 10% من حجم السكان. وهذا ما يسمى شرط 10٪.

ضع في اعتبارك أيضًا أنه إذا كنت تعمل بنسبتين (على سبيل المثال ، إنشاء فاصل ثقة للفرق بين النسب )، فأنت بحاجة إلى التحقق من أن العدد المتوقع للنجاحات والإخفاقات في العينتين هو 10 على الأقل.