قاعدة الضرب

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 1, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ماهية قاعدة الضرب، والتي تسمى أيضًا قاعدة المنتج، في نظرية الاحتمالات. لذا، ستجد ما هي صيغة قاعدة الضرب، وأمثلة حول كيفية حساب الاحتمال باستخدام قاعدة الضرب، بالإضافة إلى العديد من التمارين التي تم حلها للتدرب عليها.

تعتمد قاعدة الضرب على ما إذا كانت الأحداث مستقلة أم غير مستقلة، لذلك سنرى أولاً كيف تبدو القاعدة للأحداث المستقلة ولاحقًا للأحداث التابعة.

قاعدة الضرب للأحداث المستقلة

تذكر أن الأحداث المستقلة هي نتائج تجربة إحصائية لا يعتمد احتمال حدوثها على بعضها البعض. بمعنى آخر، يكون الحدثان A وB مستقلين إذا كان احتمال وقوع الحدث A لا يعتمد على وقوع الحدث B، والعكس صحيح.

➤ انظر: ما هي الأحداث المستقلة؟

صيغة قاعدة الضرب للأحداث المستقلة

عندما يكون هناك حدثان مستقلان، تنص قاعدة الضرب على أن الاحتمال المشترك لحدوث كلا الحدثين يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع كل حدث.

ولذلك، فإن صيغة قاعدة الضرب للأحداث المستقلة هي:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

ذهب:

$A$

و

$B$

وهذان حدثان مستقلان.
$P(A\cap B)$

هو الاحتمال المشترك لوقوع الحدث A والحدث B.
$P(A)$

هو احتمال وقوع الحدث A.
$P(B)$

هو احتمال وقوع الحدث B.

➤ انظر: ما هو الاحتمال المشترك؟

مثال لقاعدة الضرب للأحداث المستقلة

يتم رمي قطعة نقود ثلاث مرات متتالية. احسب احتمالية الحصول على صورة في الرميات الثلاث.

في هذه الحالة، تكون الأحداث التي نريد حساب الاحتمال المشترك لها مستقلة، حيث أن نتيجة التعادل لا تعتمد على النتيجة التي تم الحصول عليها في السحب السابق. لذلك، لتحديد الاحتمال المشترك للحصول على ثلاثة رؤوس متتالية، نحتاج إلى استخدام صيغة قاعدة الضرب للأحداث المستقلة:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

عندما نرمي عملة معدنية، هناك نتيجتان محتملتان فقط، يمكننا الحصول على الصورة أو الكتابة. وبالتالي، فإن احتمال الحصول على صورة أو كتابة عند رمي قطعة نقود هو:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

$P(\text{cruz})=\cfrac{1}{2}=0,5$

لذا، لإيجاد احتمال الحصول على صورة عند رمي العملات الثلاث، نحتاج إلى ضرب احتمال الحصول على صورة في ثلاثة:

$P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,125$

باختصار، احتمال الحصول على صورة ثلاث مرات متتالية هو 12.5%.

يوجد أدناه جميع الأحداث المحتملة ممثلة باحتمالاتها في مخطط شجرة، وبهذه الطريقة يمكنك رؤية العملية التي اتبعناها للحصول على الاحتمال المشترك بشكل أفضل:

➤ انظر: ما هو مخطط الشجرة؟

قاعدة الضرب للأحداث التابعة

الآن بعد أن رأينا ما هي قاعدة الضرب للأحداث المستقلة، دعونا نرى كيف يبدو هذا القانون للأحداث المستقلة حيث أن الصيغة تختلف قليلاً.

تذكر أن الأحداث التابعة هي نتائج تجربة عشوائية يعتمد احتمال حدوثها على بعضها البعض. أي أن حدثين يعتمدان إذا كان احتمال وقوع حدث واحد يؤثر على احتمال وقوع الحدث الآخر.

➤ انظر: ما هي الأحداث التابعة؟

صيغة قاعدة الضرب للأحداث التابعة

عندما يعتمد حدثان، تنص قاعدة الضرب على أن الاحتمال المشترك لوقوع كلا الحدثين يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع حدث واحد في الاحتمال الشرطي للحدث الآخر بمعلومية الحدث الأول.

لذا، فإن صيغة قاعدة الضرب للأحداث التابعة هي:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

ذهب:

$A$

و

$B$

وهذان حدثان معتمدان.
$P(A\cap B)$

هو احتمال وقوع الحدث A والحدث B.
$P(A)$

هو احتمال وقوع الحدث A.
$P(B|A)$

هو الاحتمال المشروط لحدوث الحدث B في ضوء الحدث A.

➤ انظر: ما هو الاحتمال المشروط؟

مثال لقاعدة الضرب للأحداث التابعة

في صندوق فارغ، نضع 8 كرات زرقاء، 4 كرات برتقالية و2 كرات خضراء. إذا سحبنا كرة واحدة أولًا ثم كرة أخرى دون إعادة الكرة الأولى المسحوبة إلى الصندوق، فما احتمال أن تكون الكرة الأولى زرقاء والكرة الثانية برتقالية؟

وفي هذه الحالة تعتمد الأحداث، لأن احتمال التقاط كرة برتقالية في السحب الثاني يعتمد على لون الكرة المسحوبة في السحب الأول. لذلك، لحساب الاحتمال المشترك، نحتاج إلى استخدام صيغة قاعدة الضرب للأحداث التابعة:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

من السهل تحديد احتمالية الحصول على كرة زرقاء في السحب الأول، ما عليك سوى قسمة عدد الكرات الزرقاء على إجمالي عدد الكرات:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

من ناحية أخرى، فإن احتمال سحب كرة برتقالية بعد أخذ كرة زرقاء يتم حسابه بشكل مختلف لأن عدد الكرات البرتقالية مختلف، وبالإضافة إلى ذلك، هناك الآن كرة أقل داخل الصندوق:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

وبالتالي، يتم حساب الاحتمال المشترك لسحب كرة زرقاء أولاً ثم كرة برتقالية عن طريق ضرب الاحتمالين الموجودين أعلاه:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$

➤ انظر: قاعدة الإضافة

حل تمارين قاعدة الضرب

التمرين 1

يوجد في المدينة 3 مراكز للرعاية النهارية فقط: 60% من الأطفال يذهبون إلى الرعاية النهارية أ، و30% إلى الرعاية النهارية ب، و10% إلى الرعاية النهارية ج. بالإضافة إلى ذلك، في مراكز الرعاية النهارية الثلاثة، 55% من الأشخاص من الفتيات. احسب الاحتمالات التالية:

احتمال أنه عند اختيار طفل عشوائيًا من الحضانة B، سيكون فتاة.
احتمال أنه عند اختيار طفل عشوائياً من أي مركز رعاية نهارية، سيكون صبياً.

انظر الحل

إذا كانت نسبة الفتيات في جميع دور الحضانة 55%، يتم حساب نسبة الأولاد ببساطة عن طريق طرح 1 ناقص 0.55:

$P(\text{chico})=1-0,55=0,45$

الآن بعد أن عرفنا جميع الاحتمالات، يمكننا إنشاء الشجرة باحتمالات جميع الاحتمالات:

في هذه الحالة، تكون الأحداث مستقلة، لأن احتمال أن يكون ولدًا أو فتاة لا يعتمد على الحضانة المختارة. لذلك، لإيجاد احتمال اختيار فتاة عشوائيًا من الحضانة B، تحتاج إلى ضرب احتمال اختيار الحضانة B في احتمال اختيار فتاة:

$P(\text{chica guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,55=\bm{0,165}$

من ناحية أخرى، لتحديد احتمالية اختيار صبي في أي حضانة، يجب علينا أولاً حساب احتمالية اختيار صبي لكل حضانة، ثم جمعهما معًا:

$P(\text{chico guarder\'ia A})=0,6\cdot 0,45=0,27$

$P(\text{chico guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,45=0,135$

$P(\text{chico guarder\'ia C})=0,10\cdot 0,45=0,045$

$P(\text{chico guarder\'ia A, B o C})=0,27+0,135+0,045=\bm{0,45}$

تمرين 2

تمت دراسة السنة المالية لـ 25 شركة في دولة ما وكيف تتغير أسعار أسهمها حسب النتيجة الاقتصادية لهذا العام. يمكنك الاطلاع على البيانات التي تم جمعها في جدول الطوارئ التالي:

ما مدى احتمالية أن تحقق الشركة ربحًا وتشهد أيضًا ارتفاع أسعار أسهمها؟

انظر الحل

في هذه الحالة، الأحداث تعتمد على بعضها البعض لأن احتمالية ارتفاع الأسهم أو انخفاضها يعتمد على النتيجة الاقتصادية. ولذلك، نحن بحاجة إلى تطبيق صيغة قاعدة الضرب للأحداث التابعة:

$P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})$

لذلك نحسب أولاً احتمالية تحقيق الشركة ربحًا، وثانيًا احتمالية زيادة أسهم الشركة عندما تحقق ربحًا اقتصاديًا:

$P(\text{beneficio})=\cfrac{14}{25}=0,56$

$P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\cfrac{10}{14}=0,71$

بعد ذلك، نستبدل القيم المحسوبة في الصيغة ونحسب الاحتمال المشترك:

$\begin{array}{l}P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=\\[2ex]=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\\[2ex]= 0,56\cdot 0,71=\\[2ex] =\bm{0,4} \end{array}$

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر