قانون الاحتمال الكلي: التعريف والأمثلة

في نظرية الاحتمالات، يعد قانون الاحتمال الإجمالي طريقة مفيدة للعثور على احتمال الحدث A عندما لا نعرف احتمال A بشكل مباشر ولكننا نعلم أن الأحداث B ₁ , B ₂ , B ₃ … تشكل قسمًا. من فضاء العينة S .

يحدد هذا القانون ما يلي:

قانون الاحتمال الكلي

إذا كانت B ₁ , B ₂ , B ₃ … تشكل قسماً من فضاء العينة S ، فيمكننا حساب احتمال الحدث A كما يلي:

P( A ) = ΣP( A | B _i )*P( B _i )

أسهل طريقة لفهم هذا القانون هي أن نأخذ مثالاً بسيطًا.

لنفترض أن هناك حقيبتين في صندوق يحتوي على الكرات التالية:

• الكيس 1: 7 كرات حمراء و3 كرات خضراء
• الكيس 2: 2 رخام أحمر و8 رخام أخضر

إذا اخترنا أحد الأكياس عشوائيًا، ثم اخترنا عشوائيًا رخامًا من ذلك الكيس، فما احتمال أن تكون رخامًا أخضر اللون؟

في هذا المثال، لنفترض أن P( G ) = احتمال اختيار رخام أخضر. إنه الاحتمال الذي يهمنا، لكننا لا نستطيع حسابه بشكل مباشر.

بدلاً من ذلك، نحتاج إلى استخدام الاحتمال الشرطي لـ G ، في ضوء بعض الأحداث B حيث يشكل B _i قسمًا من مساحة العينة S. في هذا المثال، لدينا الاحتمالات الشرطية التالية:

• ف(ز| _B1 ) = 3/10 = 0.3
• ف(ز| _B2 ) = 8/10 = 0.8

لذا، وباستخدام قانون الاحتمال الكلي، يمكننا حساب احتمال اختيار رخام أخضر على النحو التالي:

• P(G) = ΣP(G|B _i )*P(B _i )
• P(G) = P(G|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(G|B ₂ )*P(B ₂ )
• ف(ز) = (0.3)*(0.5) + (0.8)*(0.5)
• ف (ز) = 0.55

إذا اخترنا أحد الأكياس عشوائيًا، ثم اخترنا عشوائيًا رخامًا من ذلك الكيس، فإن احتمال اختيار رخام أخضر هو 0.55 .

اقرأ المثالين التاليين لترسيخ فهمك لقانون الاحتمال الكلي.

المثال 1: الحاجيات

تقوم الشركة “أ” بتوريد 80% من الأدوات إلى ورشة سيارات، وتبين أن 1% فقط من الأدوات معيبة. تقوم الشركة “ب” بتزويد ورشة إصلاح السيارات بنسبة 20% المتبقية من الأدوات المصغّرة، وتبين أن 3% من أدواتها معيبة.

إذا قام أحد العملاء بشراء أداة بشكل عشوائي من ورشة لتصليح السيارات، ما هو احتمال أن تكون معيبة؟

إذا تركنا P( D ) = احتمال أن تكون القطعة معيبة و P(B _i ) احتمال أن تأتي القطعة من إحدى الشركات، فيمكننا حساب احتمال شراء القطعة المعيبة على النحو التالي:

• P(D) = ΣP(D|B _i )*P(B _i )
• ف(د) = ف(د|ب ₁ )*ف(ب ₁ ) + ف(د|ب ₂ )*ف(ب ₂ )
• ف(د) = (0.01)*(0.80) + (0.03)*(0.20)
• ف (د) = 0.014

إذا اشترينا عنصر واجهة مستخدم بشكل عشوائي من متجر السيارات هذا، فإن احتمال أن يكون معيبًا هو 0.014 .

مثال 2: الغابات

تشغل الغابة أ 50% من المساحة الإجمالية لمنتزه معين، كما أن 20% من النباتات الموجودة في هذه الغابة سامة. تشغل الغابة ب 30% من المساحة الإجمالية و40% من النباتات التي تحتوي عليها سامة. تحتل الغابة C نسبة 20% المتبقية من الأراضي و70% من النباتات الموجودة هناك سامة.

إذا مشينا بشكل عشوائي في هذه الحديقة وقمنا بقطف نبات من الأرض، ما مدى احتمالية أن يكون سامًا؟

إذا تركنا P( P ) = احتمال أن يكون النبات سامًا، و P(B _i ) احتمال أننا دخلنا إحدى الغابات الثلاث، فيمكننا حساب احتمال أن يكون النبات الذي تم اختياره عشوائيًا سامًا مثل:

• P(P) = ΣP(P|B _i )*P(B _i )
• P(P) = P(P|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(P|B ₂ )*P(B ₂ ) + P(P|B ₃ )*P(B ₃ )
• ف(ف) = (0.20)*(0.50) + (0.40)*(0.30) + (0.70)*(0.20)
• ف (ف) = 0.36

إذا اخترنا نباتًا من الأرض عشوائيًا، فإن احتمال أن يكون سامًا هو 0.36 .

مصادر إضافية

توفر البرامج التعليمية التالية معلومات إضافية حول موضوعات الاحتمالية:

كيفية العثور على متوسط التوزيع الاحتمالي
كيفية العثور على الانحراف المعياري للتوزيع الاحتمالي
حاسبة التوزيع الاحتمالي