نظرية تشيبيشيف

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 5, 2023 احتمالا 0 Comments

يشرح هذا المقال ما هي نظرية تشيبيشيف. ستجد هنا صيغة نظرية تشيبيشيف، وتمرينًا تم حله، بالإضافة إلى آلة حاسبة لنظرية تشيبيشيف عبر الإنترنت. وأخيرا، يوضح الفرق بين نظرية تشيبيشيف والقاعدة التجريبية.

ما هي نظرية تشيبيشيف؟

نظرية تشيبيشيف ، والمعروفة أيضًا باسم متباينة تشيبيشيف ، هي قاعدة إحصائية تستخدم لحساب احتمال أن تقع قيمة متغير عشوائي على مسافة معينة من متوسطها.

وبعبارة أخرى، في الإحصاء، يتم استخدام نظرية تشيبيشيف لتحديد احتمالية وجود قيمة ما ضمن فاصل الثقة.

بالإضافة إلى ذلك، تُستخدم نظرية تشيبيشيف أيضًا لإثبات نظريات إحصائية أخرى، مثل قانون الأعداد الكبيرة.

على الرغم من أن نظرية تشيبيشيف قد صاغها لأول مرة الفرنسي إيرينيه-جول بينايمي، إلا أن النظرية سميت بهذا الاسم لأنها نشأت على يد الروسي بافنوتي تشيبوشيف في عام 1867.

صيغة نظرية تشيبيشيف

تنص نظرية تشيبيشيف على أن احتمال أن تكون القيمة مساوية للانحرافات المعيارية k عن المتوسط أكبر من أو يساوي واحدًا ناقص نسبة واحد مقسومًا على k تربيع.

ولذلك، فإن صيغة نظرية تشيبيشيف هي كما يلي:

$\displaystyle P(\mu-k\sigma\leq X \leq \mu+k\sigma)\geq 1 -\frac{1}{k^2}$

ذهب

$X$

هي قيمة المتغير العشوائي،

$\mu$

الوسط الحسابي للمتغير،

$\sigma$

انحرافه المعياري و

$k$

عدد الانحرافات المعيارية عن المتوسط الذي سيتم حساب الاحتمال عليه.

لاحظ أنه لا يمكن استخدام هذه الصيغة إلا إذا كان عدد الانحرافات المعيارية التي يتم الحساب عليها أكبر من 1، أو بمعنى آخر، إذا كانت k أكبر من 1.

$k>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”41″ style=”vertical-align: -2px;”></p> </p> <p style=$ 👉 يمكنك استخدام حاسبة نظرية Chebyshev عبر الإنترنت أدناه لحساب الاحتمال.

مثال على نظرية تشيبيشيف

بمجرد أن رأينا تعريف نظرية تشيبيشيف وما هي صيغتها، إليك مثال محلول لهذه النظرية الإحصائية لفهم المفهوم بشكل أفضل.

إذا تم تحديد الدرجات المكتسبة في إحصائيات مقررات الجامعة من خلال توزيع بمتوسط 65 وانحراف معياري قدره 10، فما هي النسبة المئوية للطلاب الذين حصلوا على درجة تتراوح بين 50 و80؟

لحل هذه المشكلة، نحن بحاجة إلى تطبيق صيغة نظرية تشيبيشيف. ومع ذلك، يجب علينا أولاً تحديد عدد الانحرافات المعيارية للقيمتين 50 و80 عن متوسط المتغير، وللقيام بذلك، نحتاج ببساطة إلى إجراء الحساب التالي:

$k=\cfrac{\text{valor}-\text{media}}{\text{desviaci\'on t\'ipica}}$

$k=\cfrac{50-65}{10}=-1,5$

$k=\cfrac{80-65}{10}=1,5$

ولذلك فإن القيمتين 50 و80 تتوافقان مع 1.5 انحراف معياري عن المتوسطين الأدنى والأعلى على التوالي. لذلك نستخدم صيغة نظرية تشيبيشيفا مع k=1.5:

$\displaystyle P(\mu-k\sigma\leq X \leq \mu+k\sigma)\leq 1 -\frac{1}{k^2}$

$\displaystyle P(\mu-1,5\sigma\leq X \leq \mu+1,5\sigma)\leq 1 -\frac{1}{1,5^2}$

$\displaystyle P(50\leq X \leq 80)\leq 0,5556$

وبذلك حصل ما لا يقل عن 55.56% من الطلاب على درجة تتراوح بين 50 و80.

حاسبة نظرية تشيبيشيف

أدخل عدد الانحرافات المعيارية بين القيم المعنية والمتوسط (ك) ، ثم انقر فوق “احسب”. ستقوم الآلة الحاسبة بعد ذلك بإرجاع الحد الأدنى لاحتمال فترة الثقة.

يجب عليك إدخال عدد الانحرافات المعيارية باستخدام النقطة كفاصل عشري.