اختبار الملاءمة

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 2, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو اختبار جودة المطابقة وما يتم استخدامه في الإحصائيات. ويوضح أيضًا كيفية إجراء اختبار اللياقة البدنية، وبالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية تمرين تم حله خطوة بخطوة.

ما هو اختبار اللياقة؟

اختبار جودة المطابقة هو اختبار إحصائي يسمح لنا بتحديد ما إذا كانت عينة من البيانات تناسب توزيعًا احتماليًا معينًا أم لا. بمعنى آخر، يتم استخدام اختبار الكفاية للتحقق مما إذا كانت البيانات المرصودة تتوافق مع البيانات المتوقعة.

في كثير من الأحيان، نحاول إجراء تنبؤات حول ظاهرة ما، ونتيجة لذلك، توقعنا قيمًا حول الظاهرة المذكورة التي نعتقد أنها ستحدث. ومع ذلك، يجب علينا بعد ذلك جمع البيانات والتحقق مما إذا كانت البيانات المجمعة تتوافق مع توقعاتنا. وبالتالي، تتيح لنا اختبارات الكفاية أن نقرر باستخدام معيار إحصائي ما إذا كانت البيانات المتوقعة والبيانات المرصودة متشابهة أم لا.

وبالتالي فإن اختبار جودة المطابقة هو اختبار فرضي تتمثل فرضيته الصفرية في أن القيم المرصودة تساوي القيم المتوقعة، ومن ناحية أخرى فإن الفرضية البديلة للاختبار تشير إلى أن القيم المرصودة مختلفة إحصائيا من القيم المتوقعة .

$\begin{cases}H_0: f(x)=f_o(x)\\[2ex]H_1: f(x)\neq f_o(x)\end{cases}$

في الإحصاء، يُعرف اختبار جودة المطابقة أيضًا باسم اختبار مربع كاي ، نظرًا لأن التوزيع المرجعي للاختبار هو توزيع مربع كاي.

صيغة اختبار اللياقة

إحصائية اختبار جودة المطابقة تساوي مجموع مربعات الفروق بين القيم المرصودة والقيم المتوقعة مقسومة على القيم المتوقعة.

لذا فإن صيغة اختبار الكفاية هي كما يلي:

$\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

ذهب:

$\chi^2$

هي إحصائية اختبار جودة الملاءمة، والتي تتبع توزيع مربع كاي مع

$k-1$

درجات الحرية.
$k$

هو حجم عينة البيانات.
$O_i$

هي القيمة المرصودة للبيانات أنا.
$E_i$

هي القيمة المتوقعة للبيانات ط.

وبالتالي، نظرا لمستوى من الأهمية

$\alpha$

، يجب مقارنة إحصائية الاختبار المحسوبة بقيمة الاختبار الحرجة لتحديد ما إذا كان سيتم رفض الفرضية الصفرية أو الفرضية البديلة لاختبار الفرضية:

إذا كانت إحصائية الاختبار أقل من القيمة الحرجة
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

، تم رفض الفرضية البديلة (وقبول الفرضية الصفرية).
إذا كانت إحصائية الاختبار أكبر من القيمة الحرجة
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

، تم رفض الفرضية الصفرية (وقبول الفرضية البديلة).

$\begin{array}{l}\text{Si } \chi^2<\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_1\\[3ex]\text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”70″ width=”243″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <h2 class=$ كيفية إجراء اختبار اللياقة

لإجراء اختبار الملاءمة، يجب اتباع الخطوات التالية:

نقوم أولاً بتأسيس فرضية العدم والفرضية البديلة لاختبار جودة المطابقة.
ثانيًا، نختار مستوى الثقة ، وبالتالي مستوى الأهمية ، لاختبار جودة المطابقة.
بعد ذلك، نقوم بحساب إحصائية اختبار جودة المطابقة، والتي يمكن العثور على صيغتها في القسم أعلاه.
نجد القيمة الحرجة لاختبار جودة المطابقة باستخدام جدول توزيع مربع كاي.
نقارن إحصائية الاختبار بالقيمة الحرجة:
- إذا كانت إحصائية الاختبار أقل من القيمة الحرجة، يتم رفض الفرضية البديلة (ويتم قبول الفرضية الصفرية).
- إذا كانت إحصائية الاختبار أكبر من القيمة الحرجة، يتم رفض الفرضية الصفرية (ويتم قبول الفرضية البديلة).

مثال على اختبار الكفاية

تقول صاحبة متجر إن 50% من مبيعاتها مخصصة للمنتج (أ)، و35% من مبيعاتها للمنتج (ب)، و15% من مبيعاتها للمنتج (ج). ومع ذلك، فإن الوحدات المباعة من كل منتج هي تلك الموضحة في الجدول التالي. تحليل ما إذا كانت البيانات النظرية للمالك تختلف إحصائيًا عن البيانات الفعلية التي تم جمعها.

منتج	المبيعات المرصودة ( _Oi )
المنتج أ	453
المنتج ب	268
المنتج ج	79
مجموع	800

لتحديد ما إذا كانت القيم المرصودة تعادل القيم المتوقعة، سنقوم بإجراء اختبار جودة المطابقة. الفرضية الصفرية والفرضية البديلة للاختبار هي:

$\begin{cases}H_0: f(x)=f_o(x)\\[2ex]H_1: f(x)\neq f_o(x)\end{cases}$

في هذه الحالة، سوف نستخدم مستوى ثقة 95% للاختبار، وبالتالي فإن مستوى الأهمية سيكون 5%.

$\alpha=0,05$

للعثور على قيم المبيعات المتوقعة، نحتاج إلى ضرب نسبة المبيعات المتوقعة لكل منتج في عدد إجمالي المبيعات التي تمت:

$\begin{array}{c}E_A=800\cdot 0,50=400\\[2ex]E_B=800\cdot 0,35=280\\[2ex]E_A=800\cdot 0,15=120\end{array}$

وبالتالي فإن الجدول التكراري للمشكلة هو كما يلي:

منتج	المبيعات المرصودة ( _Oi )	المبيعات المتوقعة ( _Ei )
المنتج أ	453	400
المنتج ب	268	280
المنتج ج	79	120
مجموع	800	800

الآن بعد أن قمنا بحساب جميع القيم، نطبق صيغة اختبار مربع كاي لحساب إحصائية الاختبار:

$\begin{array}{c}\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\[6ex]\chi^2=\cfrac{(453-400)^2}{400}+\cfrac{(268-280)^2}{280}+\cfrac{(79-120)^2}{120}\\[6ex]\chi^2=7,02+0,51+14,00\\[6ex]\chi^2=21,53\end{array}$

بمجرد حساب قيمة إحصائية الاختبار، نستخدم جدول توزيع مربع كاي للعثور على القيمة الحرجة للاختبار. توزيع مربع كاي

$k-1=3-1=2$

درجات الحرية ومستوى الأهمية

$\alpha=0,05$

،حتى الآن:

$\begin{array}{c}\chi^2_{1-\alpha|k-1}=\ \color{orange}\bm{?}\color{black}\\[4ex]\chi^2_{0,95|2}=5,991\end{array}$

وبذلك تكون إحصائية الاختبار (21.53) أكبر من قيمة الاختبار الحرجة (5.991)، وبالتالي يتم رفض الفرضية الصفرية وقبول الفرضية البديلة. وهذا يعني أن البيانات مختلفة تمامًا وبالتالي توقع صاحب المتجر مبيعات مختلفة عما تم تحقيقه بالفعل.

$21,53>5,991 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”354″ style=”vertical-align: -4px;”></p></p> </div>  <div class=$

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

ما هو اختبار اللياقة؟

صيغة اختبار اللياقة

مثال على اختبار الكفاية

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

Add a Comment