الانحدارالخطي

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 2, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو الانحدار الخطي وما يتم استخدامه في الإحصائيات. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرًا على رؤية كيفية حساب نوعي الانحدار الخطي: الانحدار الخطي البسيط والانحدار الخطي المتعدد.

ما هو الانحدار الخطي؟

الانحدار الخطي هو نموذج إحصائي يربط واحدًا أو أكثر من المتغيرات المستقلة بمتغير تابع. ببساطة، الانحدار الخطي هو أسلوب يستخدم للعثور على معادلة تقارب العلاقة بين واحد أو أكثر من المتغيرات التوضيحية ومتغير الاستجابة.

على سبيل المثال، المعادلة y=2+5x ₁ -3x ₂ +8x ₃ هي نموذج انحدار خطي لأنها تربط رياضيًا بين ثلاثة متغيرات مستقلة (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) مع متغير تابع (y)، علاوة على ذلك، العلاقة بين المتغيرات خطية.

أنواع الانحدار الخطي

هناك نوعان من الانحدار الخطي :

الانحدار الخطي البسيط : يرتبط متغير مستقل واحد بمتغير تابع. وبالتالي فإن معادلة هذا النوع من نموذج الانحدار الخطي هي بالصيغة y=β ₀ +β ₁ x ₁ .
الانحدار الخطي المتعدد : يحتوي نموذج الانحدار على عدة متغيرات توضيحية ومتغير استجابة. لذلك، فإن معادلة هذا النوع من نماذج الانحدار الخطي هي بالصيغة y=β ₀ +β ₁ x ₁ +β ₂ x ₂ …+β _m x _m .

الانحدار الخطي البسيط

يتم استخدام الانحدار الخطي البسيط لربط متغير مستقل واحد بكلا المتغيرين.

إن معادلة نموذج الانحدار الخطي البسيط عبارة عن خط مستقيم، ولذلك فهي تتكون من معاملين: ثابت المعادلة (β ₀ ) ومعامل الارتباط بين المتغيرين (β ₁ ). ولذلك، فإن معادلة نموذج الانحدار الخطي البسيط هي y=β ₀ +β ₁ x.

$y=\beta_0+\beta_1x$

الصيغ لحساب معاملات الانحدار الخطي البسيط هي كما يلي:

$\begin{array}{c}\beta_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[12ex]\beta_0=\overline{y}-\beta_1\overline{x}\end{array}$

ذهب:

$\beta_0$

هو ثابت خط الانحدار.
$\beta_1$

هو ميل خط الانحدار
$x_i$

هي قيمة المتغير المستقل X للبيانات i.
$y_i$

هي قيمة المتغير التابع Y للبيانات i.
$\overline{x}$

هو متوسط قيم المتغير المستقل
$\overline{y}$

هو متوسط قيم المتغير التابع Y.

➤ انظر: مثال ملموس للانحدار الخطي البسيط

الانحدار الخطي المتعدد

في نموذج الانحدار الخطي المتعدد ، يتم تضمين متغيرين مستقلين على الأقل. بمعنى آخر، يسمح الانحدار الخطي المتعدد بربط العديد من المتغيرات التوضيحية خطيًا بمتغير الاستجابة.

معادلة نموذج الانحدار الخطي المتعدد هي y=β ₀ +β ₁ x ₁ +β ₂ x ₂ +…+β _m x _m +ε.

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_m x_m+\varepsilon$

ذهب:

$y$

هو المتغير التابع.
$x_i$

هو المتغير المستقل أنا .
$\beta_0$

هو ثابت معادلة الانحدار الخطي المتعدد.
$\beta_i$

هو معامل الانحدار المرتبط بالمتغير

$x_i$

.
$\bm{\varepsilon}$

هو الخطأ أو المتبقي، أي الفرق بين القيمة المرصودة والقيمة المقدرة بواسطة النموذج.
$m$

هو العدد الإجمالي للمتغيرات في النموذج.

لذلك إذا كان لدينا عينة بإجمالي

$n$

الملاحظات، يمكننا أن نطرح نموذج الانحدار الخطي المتعدد في شكل مصفوفة:

$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x_{11}&\dots&x_{1m}\\1&x_{21}&\dots&x_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_{n1}&\dots&x_{nm}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\beta_0\\\beta_1\\\vdots\\\beta_m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

يمكن إعادة كتابة تعبير المصفوفة أعلاه عن طريق تخصيص حرف لكل مصفوفة:

$Y=X\beta+\varepsilon$

وبالتالي، من خلال تطبيق معيار المربعات الصغرى، يمكننا الوصول إلى صيغة تقدير معاملات نموذج الانحدار الخطي المتعدد :

$\widehat{\beta}=\left(X^tX\right)^{-1}X^tY$

ومع ذلك، فإن تطبيق هذه الصيغة شاق للغاية ويستغرق وقتًا طويلاً، ولهذا السبب يوصى عمليًا باستخدام برامج الكمبيوتر (مثل Minitab أو Excel) التي تسمح بإنشاء نموذج الانحدار المتعدد بسرعة أكبر.

➤ انظر: تفسير نموذج الانحدار الخطي المتعدد

افتراضات الانحدار الخطي

في نموذج الانحدار الخطي، يجب استيفاء الشروط التالية حتى يكون النموذج صالحًا:

الاستقلال : يجب أن تكون البقايا مستقلة عن بعضها البعض. إحدى الطرق الشائعة لضمان استقلالية النموذج هي إضافة العشوائية إلى عملية أخذ العينات.
التجانس : يجب أن يكون هناك تجانس في تباينات البقايا، أي أن تباين البقايا يجب أن يكون ثابتاً.
عدم تعدد الخطية : لا يمكن ربط المتغيرات التوضيحية المتضمنة في النموذج ببعضها البعض، أو على الأقل يجب أن تكون العلاقة بينها ضعيفة للغاية.
الحالة الطبيعية : يجب أن يتم توزيع البقايا بشكل طبيعي، أو بمعنى آخر، يجب أن تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 0.
الخطية : يفترض أن العلاقة بين متغير الاستجابة والمتغيرات التوضيحية خطية.

ما هو الانحدار الخطي المستخدم؟

الانحدار الخطي له في الأساس استخدامان: يستخدم الانحدار الخطي لشرح العلاقة بين المتغيرات التوضيحية ومتغير الاستجابة، وبالمثل، يستخدم الانحدار الخطي للتنبؤ بقيمة المتغير التابع لملاحظة جديدة.

ومن خلال الحصول على معادلة نموذج الانحدار الخطي يمكننا معرفة نوع العلاقة الموجودة بين المتغيرات في النموذج. إذا كان معامل الانحدار لمتغير مستقل موجباً فإن المتغير التابع سيزداد عندما يزيد. بينما إذا كان معامل الانحدار لمتغير مستقل سالباً فإن المتغير التابع سوف ينخفض عندما يزداد.

من ناحية أخرى، تسمح المعادلة المحسوبة في الانحدار الخطي أيضًا بالتنبؤ بالقيمة. وبالتالي، فمن خلال إدخال قيم المتغيرات التوضيحية في معادلة النموذج، يمكننا حساب قيمة المتغير التابع لقطعة جديدة من البيانات.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر