التغاير

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 5, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو التغاير وكيفية حسابه. ستجد صيغة التباين بالإضافة إلى مثال لحساب التباين لمجموعة بيانات. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك حساب التباين لأي سلسلة بيانات باستخدام الآلة الحاسبة الموجودة على الإنترنت في النهاية.

ما هو التغاير؟

في الإحصاء، التباين هو القيمة التي تشير إلى درجة التباين المشترك بين متغيرين عشوائيين. وبعبارة أخرى، يتم استخدام التغاير لتحليل الاعتماد بين متغيرين.

التباين يساوي مجموع حاصل ضرب الفروق بين بيانات المتغيرين ووسائل كل منهما مقسومًا على إجمالي عدد البيانات.

👉 يمكنك استخدام الآلة الحاسبة أدناه لحساب التباين لأي مجموعة بيانات.

تفسير قيمة التباين بسيط للغاية:

وإذا كان التباين موجباً ، فهذا يعني أن هناك اعتماداً بين المتغيرين. ولذلك، عندما تزيد قيمة أحد المتغيرات، تزداد قيمة المتغير الآخر أيضًا، والعكس صحيح.
إذا كان التباين سالباً ، فهذا يعني أن العلاقة بين المتغيرين سلبية. لذلك، عندما تزيد قيمة أحد المتغيرات، تنخفض قيمة المتغير الآخر، والعكس صحيح.
إذا كان التباين صفرًا (أو كانت قيمته قريبة من الصفر)، فهذا يعني أنه لا توجد علاقة بين المتغيرين. وبعبارة أخرى، فإن المتغيرين العشوائيين مستقلان.

كيفية حساب التباين

لحساب التباين في سلسلة البيانات، يجب تنفيذ الخطوات التالية:

احسب متوسط كل متغير على حدة.
لكل متغير أوجد الفرق بين كل قيمة من قيمه ومتوسط المتغير.
اضرب الاختلافات المحسوبة في الخطوة السابقة لكل نقطة بيانات.
أضف جميع النتائج التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة.
قسّم على إجمالي عدد البيانات. القيمة التي تم الحصول عليها هي التباين في سلسلة البيانات.

وباختصار، فإن صيغة حساب التباين بين متغيرين هي كما يلي:

$Cov(X,Y)=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{n}$

إحدى الطرق الموصى بها بشدة لاستخراج التباين بين متغيرين هي إنشاء جدول يحتوي على جميع أزواج البيانات وإضافة عمود لكل خطوة من الخطوات الموضحة أعلاه. بهذه الطريقة ستكون حساباتك منظمة بشكل أفضل وستفهم بشكل أفضل ما تفعله.

مثال على حساب التغاير

وبالنظر إلى تعريف التباين، يوجد أدناه مثال خطوة بخطوة لحساب هذا النوع من القياس الإحصائي. الهدف هو أن تفهم بشكل أفضل مفهوم التغاير وكيفية تحليل الارتباط بين متغيرين.

احسب التباين لمجموعة البيانات الإحصائية التالية:

أولا، علينا حساب الوسط الحسابي لكل متغير. للقيام بذلك، نقسم مجموع قيم كل متغير على إجمالي عدد البيانات.

$\overline{x}=\cfrac{58}{10}=5,8$

$\overline{y}=\cfrac{51}{10}=5,1$

➤ انظر: الصيغة الحسابية تعني

بمجرد تحديد متوسط كل متغير عشوائي، يمكننا إضافة الأعمدة التالية إلى جدول البيانات للحصول على التباين:

لذا، لتحديد التباين المشترك بين المتغيرين، يجب عليك قسمة مجموع العمود الأخير على عدد أزواج البيانات:

$\begin{aligned}Cov(X,Y)&=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{n}\\[2ex] Cov(X,Y)&= \cfrac{41,2}{10} \\[2ex]Cov(X,Y)&= 4,12\end{aligned}$

وفي هذه الحالة تكون قيمة التغاير موجبة، مما يعني أن هناك علاقة مباشرة بين المتغيرين العشوائيين المدروسين. ومع ذلك، إذا كانت قيمة التغاير سالبة، فهذا يعني أن الاعتماد بين المتغيرين عكسي. وأخيرًا، إذا كانت قيمة التغاير صفرًا أو قريبة جدًا من الصفر، فهذا يعني أنه لا توجد علاقة خطية بين المتغيرين.

كما ترون من حل هذا المثال، من المفيد جدًا استخدام برنامج كمبيوتر مثل Excel لإضافة الأعمدة إلى الجدول وإجراء العمليات الحسابية بسرعة. بخلاف ذلك، من خلال حساب العمليات يدويًا، سيستغرق العثور على التباين وقتًا أطول بكثير.

حاسبة التغاير

أدخل مجموعة من البيانات الإحصائية في الآلة الحاسبة التالية لحساب التباين بين متغيرين. تحتاج إلى فصل أزواج البيانات، بحيث يوجد في المربع الأول قيم متغير واحد فقط وفي المربع الثاني توجد قيم المتغير الثاني فقط.

يجب فصل البيانات بمسافة وإدخالها باستخدام النقطة كفاصل عشري.

خصائص التغاير

التباين له الخصائص التالية:

التباين بين المتغير العشوائي والثابت هو صفر.

$Cov(X,a)=0$

إن تباين المتغير ونفسه يعادل تباين ذلك المتغير.

$Cov(X,X)=Var(X)$

➤ انظر: ما هو التباين؟

يفي التباين بخاصية التماثل، وبالتالي فإن التباين بين المتغيرين X وY يساوي التباين بين المتغيرين Y وX. ولا يؤثر ترتيب المتغيرات على نتيجة التغاير.

$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$

إذا تم ضرب المتغيرات في الثوابت، فيمكنك أولاً حساب التباين ثم ضرب النتيجة في الثوابت.

$Cov(a\cdot X,b\cdot Y)=a\cdot b\cdot Cov(X,Y)$

إضافة مصطلحات إلى المتغيرات لا يؤثر على نتيجة التباين.

$Cov(a+X,b+Y)=Cov(X+Y)$

يرتبط التباين بين متغيرين عشوائيين بتوقعاتهم الرياضية. التباين بين المتغيرين X وY يساوي التوقع الرياضي لمنتج X وY مطروحًا منه منتج التوقع الرياضي لكل متغير.

$Cov(X,Y)=E[X\cdot Y]-E[X]\cdot E[Y]$

عند التعامل مع المتغيرات، يتم ملء التعبير الجبري التالي فيما يتعلق بالتباين المشترك:

$\begin{aligned}\displaystyle Cov(aX+bY,cW+dV)= \ & \displaystyle acCov(X,W)+adCov(X,V)+\\[2ex]& +bcCov(Y,W)+bdCov(Y,V)\end{aligned}$

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر