التوزيع الاحتمالي المستمر

By زومار 3, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هي التوزيعات الاحتمالية المستمرة وما يتم استخدامها في الإحصائيات. لذلك سوف تكتشف ما يعنيه أن يكون التوزيع الاحتمالي مستمرًا، وأمثلة على التوزيعات المستمرة وما هي الأنواع المختلفة للتوزيعات المستمرة.

ما هو التوزيع الاحتمالي المستمر؟

التوزيع الاحتمالي المستمر هو الذي تكون دالة توزيعه مستمرة. لذلك، يحدد التوزيع الاحتمالي المستمر احتمالات المتغير العشوائي المستمر .

على سبيل المثال، التوزيع الطبيعي وتوزيع الطالب هما توزيعات احتمالية مستمرة.

إحدى خصائص التوزيعات الاحتمالية المستمرة هي أنها يمكن أن تأخذ أي قيمة خلال فترة زمنية. وبالتالي، على عكس التوزيعات الاحتمالية المنفصلة، يمكن للتوزيعات الاحتمالية المستمرة أن تأخذ قيمًا عشرية.

في التوزيعات المستمرة، لحساب الاحتمال التراكمي، يجب على المرء العثور على المنطقة الواقعة تحت منحنى التوزيع، لذلك في هذا النوع من التوزيعات الاحتمالية، تكون دالة الاحتمال التراكمي مكافئة لتكامل دالة الكثافة .

\displaystyle P[X\leq x]=\int_{-\infty}^x f(x)dx

أمثلة على التوزيعات الاحتمالية المستمرة

بمجرد أن رأينا تعريف التوزيع الاحتمالي المستمر، سنرى عدة أمثلة على هذا النوع من التوزيع لفهم المفهوم بشكل أفضل.

أمثلة على التوزيعات الاحتمالية المستمرة:

  1. وزن الطلاب في الدورة.
  2. العمر الافتراضي للمكون الكهربائي.
  3. ربحية أسهم الشركات المدرجة في البورصة.
  4. سرعة السيارة.
  5. أسعار بعض الأسهم.

أنواع التوزيعات الاحتمالية المستمرة

الأنواع الرئيسية للتوزيعات الاحتمالية المستمرة هي:

  • التوزيع الموحد والمستمر
  • التوزيع الطبيعي
  • التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي
  • توزيع مربع كاي
  • توزيع الطالب
  • توزيع سنديكور F
  • التوزيع الأسي
  • توزيع بيتا
  • توزيع جاما
  • توزيع ويبل
  • توزيع باريتو

يتم شرح كل نوع من التوزيع الاحتمالي المستمر بالتفصيل أدناه.

التوزيع الموحد والمستمر

التوزيع الموحد المستمر ، ويسمى أيضًا التوزيع المستطيل ، هو نوع من التوزيع الاحتمالي المستمر حيث يكون لجميع القيم نفس احتمال الظهور. وبعبارة أخرى، التوزيع الموحد المستمر هو التوزيع الذي يتم فيه توزيع الاحتمال بشكل موحد على فترة زمنية.

يستخدم التوزيع الموحد المستمر لوصف المتغيرات المستمرة التي لها احتمال ثابت. وبالمثل، يتم استخدام التوزيع الموحد المستمر لتحديد العمليات العشوائية، لأنه إذا كانت جميع النتائج لها نفس الاحتمال، فهذا يعني أن هناك عشوائية في النتيجة.

يحتوي التوزيع الموحد المستمر على معلمتين مميزتين، a و b ، والتي تحدد فترة تكافؤ الاحتمال. وبالتالي فإن رمز التوزيع الموحد المستمر هو U(a,b) حيث a و b هما القيمتان المميزتان للتوزيع.

X\sim U(a,b)

على سبيل المثال، إذا كانت نتيجة تجربة عشوائية يمكن أن تأخذ أي قيمة بين 5 و9 وكانت جميع النتائج المحتملة لها نفس احتمالية الحدوث، فيمكن محاكاة التجربة باستخدام توزيع موحد مستمر U(5.9).

التوزيع الطبيعي

التوزيع الطبيعي هو توزيع احتمالي مستمر يكون رسمه البياني على شكل جرس ومتماثل حول متوسطه. في الإحصاء، يُستخدم التوزيع الطبيعي لنمذجة الظواهر ذات الخصائص المختلفة جدًا، ولهذا السبب يعد هذا التوزيع مهمًا جدًا.

في الواقع، في الإحصاء، يعتبر التوزيع الطبيعي هو التوزيع الأكثر أهمية على الإطلاق لجميع التوزيعات الاحتمالية، لأنه لا يمكنه فقط وضع نموذج لعدد كبير من ظواهر العالم الحقيقي، ولكن يمكن أيضًا استخدام التوزيع الطبيعي لتقريب أنواع أخرى من الظواهر. توزيعات. تحت ظروف معينة.

رمز التوزيع الطبيعي هو الحرف الكبير N. لذا، للإشارة إلى أن المتغير يتبع التوزيع الطبيعي، تتم الإشارة إليه بالحرف N وتضاف قيم وسطه الحسابي وانحرافه المعياري بين قوسين.

X\sim N(\mu,\sigma)

للتوزيع الطبيعي العديد من الأسماء المختلفة، بما في ذلك التوزيع الغاوسي ، والتوزيع الغاوسي ، وتوزيع لابلاس-غاوس .

التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، أو التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، هو توزيع احتمالي يحدد متغيرًا عشوائيًا يتبع لوغاريتمه التوزيع الطبيعي.

ولذلك، إذا كان للمتغير X توزيع طبيعي، فإن الدالة الأسية e x لها توزيع لوغاريتمي طبيعي.

X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)

لاحظ أنه لا يمكن استخدام التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي إلا عندما تكون قيم المتغير موجبة، لأن اللوغاريتم عبارة عن دالة تقبل وسيطة موجبة واحدة فقط.

من بين التطبيقات المختلفة للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي في الإحصائيات، نميز استخدام هذا التوزيع لتحليل الاستثمارات المالية وإجراء تحليلات الموثوقية.

يُعرف التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي أيضًا باسم توزيع تينوت ، ويُكتب أحيانًا أيضًا باسم التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي أو التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي .

توزيع مربع كاي

توزيع مربع كاي هو توزيع احتمالي رمزه χ². بتعبير أدق، توزيع مربع كاي هو مجموع مربع المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوزيع الطبيعي.

وبالتالي، فإن توزيع مربع كاي له درجات الحرية k . لذلك، فإن توزيع مربع كاي له درجات حرية تساوي مجموع مربعات المتغيرات الموزعة طبيعيًا التي يمثلها.

\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}

يُعرف توزيع مربع كاي أيضًا بتوزيع بيرسون .

يُستخدم توزيع مربع كاي على نطاق واسع في الاستدلال الإحصائي، على سبيل المثال في اختبار الفرضيات وفترات الثقة. وسنرى أدناه ما هي تطبيقات هذا النوع من التوزيع الاحتمالي.

توزيع الطالب

توزيع الطالب هو توزيع احتمالي يستخدم على نطاق واسع في الإحصاء. على وجه التحديد، يتم استخدام توزيع t للطالب في اختبار t للطالب لتحديد الفرق بين متوسطي عينتين ولتحديد فترات الثقة.

تم تطوير توزيع الطالب بواسطة الإحصائي ويليام سيلي جوسيت في عام 1908 تحت الاسم المستعار “الطالب”.

يتم تعريف توزيع الطالب بعدد درجات الحرية التي يتم الحصول عليها عن طريق طرح وحدة واحدة من إجمالي عدد الملاحظات. لذلك، فإن صيغة تحديد درجات حرية توزيع الطالب هي ν=n-1 .

\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}

توزيع سنديكور F

توزيع Snedecor F ، ويسمى أيضًا توزيع Fisher-Snedecor F أو ببساطة توزيع F ، هو توزيع احتمالي مستمر يستخدم في الاستدلال الإحصائي، وخاصة في تحليل التباين.

إحدى خصائص توزيع Snedecor F هي أنه يتم تعريفه بقيمة معلمتين حقيقيتين، m و n ، اللتين تشيران إلى درجات الحرية الخاصة بهما. وبالتالي، فإن رمز توزيع Snedecor F هو F m,n ، حيث m و n هما المعلمتان اللتان تحددان التوزيع.

F_{m,n}\qquad m,n>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”139″ style=”vertical-align: -6px;”></p> </p> <p style= رياضياً، توزيع Snedecor F يساوي حاصل القسمة بين توزيع كاي مربع واحد ودرجات حريته مقسوماً على حاصل القسمة بين توزيع مربع كاي آخر ودرجات حريته. وبالتالي، فإن الصيغة التي تحدد توزيع Snedecor F هي كما يلي:

\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}

يرجع اسم توزيع Fisher-Snedecor F إلى الإحصائي الإنجليزي رونالد فيشر والإحصائي الأمريكي جورج سنيديكور.

في الإحصاء، توزيع Fisher-Snedecor F له تطبيقات مختلفة. على سبيل المثال، يتم استخدام توزيع Fisher-Snedecor F لمقارنة نماذج الانحدار الخطي المختلفة، ويستخدم هذا التوزيع الاحتمالي في تحليل التباين (ANOVA).

التوزيع الأسي

التوزيع الأسي هو توزيع احتمالي مستمر يستخدم لنمذجة وقت الانتظار لحدوث ظاهرة عشوائية.

وبشكل أكثر دقة، فإن التوزيع الأسي يجعل من الممكن وصف وقت الانتظار بين ظاهرتين يتبعان توزيع بواسون. ولذلك، فإن التوزيع الأسي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بتوزيع بواسون.

يحتوي التوزيع الأسي على معلمة مميزة، ممثلة بالحرف اليوناني α وتشير إلى عدد المرات التي من المتوقع أن يحدث فيها الحدث المدروس خلال فترة زمنية معينة.

X\sim \text{Exp}(\lambda)

وبالمثل، يتم استخدام التوزيع الأسي أيضًا لنمذجة الوقت حتى حدوث الفشل. وبالتالي فإن التوزيع الأسي له العديد من التطبيقات في نظرية الموثوقية والبقاء.

توزيع بيتا

توزيع بيتا هو توزيع احتمالي محدد على الفاصل الزمني (0،1) ومحدد بمعلمتين موجبتين: α و β. بمعنى آخر، تعتمد قيم توزيع بيتا على المعلمتين α و β.

ولذلك، يتم استخدام توزيع بيتا لتحديد المتغيرات العشوائية المستمرة التي تتراوح قيمتها بين 0 و 1.

هناك عدة رموز تشير إلى أن المتغير العشوائي المستمر محكوم بتوزيع بيتا، وأكثرها شيوعًا هي:

\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}

في الإحصائيات، توزيع بيتا له تطبيقات متنوعة جدًا. على سبيل المثال، يتم استخدام توزيع بيتا لدراسة الاختلافات في النسب المئوية في عينات مختلفة. وبالمثل، في إدارة المشاريع، يتم استخدام توزيع بيتا لإجراء تحليل بيرت.

توزيع جاما

توزيع جاما هو توزيع احتمالي مستمر يحدده معلمتان مميزتان، α و lect. بمعنى آخر، يعتمد توزيع جاما على قيمة معلمتيه: α هي معلمة الشكل و lect هي معلمة المقياس.

رمز توزيع جاما هو الحرف اليوناني الكبير Γ. لذلك، إذا كان المتغير العشوائي يتبع توزيع جاما، فإنه يكتب على النحو التالي:

X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)

يمكن أيضًا تحديد معلمات توزيع جاما باستخدام معلمة الشكل k = α ومعلمة المقياس العكسي θ = 1/α. وفي جميع الحالات، فإن المعلمتين اللتين تحددان توزيع جاما هما أرقام حقيقية موجبة.

عادةً، يتم استخدام توزيع جاما لنمذجة مجموعات البيانات المنحرفة نحو اليمين، بحيث يكون هناك تركيز أكبر للبيانات على الجانب الأيسر من الرسم البياني. على سبيل المثال، يتم استخدام توزيع جاما لنمذجة موثوقية المكونات الكهربائية.

توزيع ويبل

توزيع ويبل هو توزيع احتمالي مستمر يحدده معلمتان مميزتان: معلمة الشكل α ومعلمة المقياس α.

في الإحصاء، يستخدم توزيع ويبول بشكل رئيسي لتحليل البقاء على قيد الحياة. وبالمثل، فإن توزيعة ويبل لديها العديد من التطبيقات في مجالات مختلفة.

X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)

وفقًا للمؤلفين، يمكن أيضًا تحديد توزيع Weibull بثلاثة معلمات. بعد ذلك، تتم إضافة معلمة ثالثة تسمى قيمة العتبة، والتي تشير إلى الإحداثي الإحداثي الذي يبدأ عنده الرسم البياني للتوزيع.

تم تسمية توزيع وايبول على اسم السويدي والودي وايبول، الذي وصفه بالتفصيل في عام 1951. ومع ذلك، تم اكتشاف توزيع وايبول من قبل موريس فريشيه في عام 1927 وتم تطبيقه لأول مرة من قبل روزين وراملر في عام 1933.

توزيع باريتو

توزيع باريتو هو توزيع احتمالي مستمر يستخدم في الإحصاء لنمذجة مبدأ باريتو. ولذلك فإن توزيع باريتو هو توزيع احتمالي يحتوي على قيم قليلة يكون احتمال حدوثها أعلى بكثير من باقي القيم.

تذكر أن قانون باريتو، والذي يُطلق عليه أيضًا قاعدة 80-20، هو مبدأ إحصائي يقول أن معظم أسباب الظاهرة يرجع إلى جزء صغير من السكان.

يحتوي توزيع باريتو على معلمتين مميزتين: معلمة المقياس x m ومعلمة الشكل α.

X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)

في الأصل، تم استخدام توزيع باريتو لوصف توزيع الثروة بين السكان، لأن معظمها كان بسبب نسبة صغيرة من السكان. لكن توزيع باريتو حاليًا له العديد من التطبيقات، على سبيل المثال في مراقبة الجودة، في الاقتصاد، في العلوم، في المجال الاجتماعي، وما إلى ذلك.

التوزيع الاحتمالي المستمر والمنفصل

يمكن تصنيف التوزيعات الاحتمالية إلى توزيعات مستمرة وتوزيعات منفصلة. وأخيرًا، سنرى ما هو الفرق بين هذين النوعين من التوزيعات الاحتمالية.

الفرق بين التوزيعات الاحتمالية المستمرة والتوزيعات الاحتمالية المنفصلة هو عدد القيم التي يمكن أن تأخذها. يمكن للتوزيعات المستمرة أن تأخذ عددًا لا نهائيًا من القيم في فترة ما، في حين أن التوزيعات المنفصلة يمكن أن تأخذ فقط عددًا معدودًا من القيم في فترة ما.

لذلك، بشكل عام، إحدى الطرق للتمييز بين التوزيعات المستمرة والتوزيعات المنفصلة هي نوع الأرقام التي يمكن أن تأخذها. عادةً، يمكن للتوزيع المستمر أن يأخذ أي قيمة، بما في ذلك الأرقام العشرية، في حين أن التوزيعات المنفصلة يمكن أن تأخذ الأعداد الصحيحة فقط.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون
دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

Add a Comment

ایمئیل یایینلانمایاجاق ایسته‎نیله‎ن بوشلوقلار خاللانمیشدیر *