مقدمة للتوزيع الفائق الهندسي

يصف التوزيع الهندسي الفائق احتمالية اختيار كائنات k ذات خاصية معينة في عمليات السحب n بدون استبدال، من مجموعة محدودة من الحجم N تحتوي على كائنات K بهذه الخاصية.

إذا كان المتغير العشوائي X يتبع توزيعًا هندسيًا مفرطًا، فيمكن العثور على احتمال اختيار كائنات k ذات خاصية معينة من خلال الصيغة التالية:

P(X=k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

ذهب:

• ن: حجم السكان
• K: عدد العناصر في المجتمع ذات خاصية معينة
• ن: حجم العينة
• k: عدد العناصر في العينة ذات وظيفة معينة
• _K C _k : عدد مجموعات الأشياء K المأخوذة k في المرة الواحدة

على سبيل المثال، هناك 4 كوينات في مجموعة بطاقات قياسية مكونة من 52 بطاقة. لنفترض أننا اخترنا بطاقة بشكل عشوائي من المجموعة، ثم، دون استبدال، اخترنا بشكل عشوائي بطاقة أخرى من المجموعة. ما هو احتمال أن تكون كلا البطاقتين كوينز؟

للإجابة على ذلك، يمكننا استخدام التوزيع الهندسي الزائد مع المعلمات التالية:

• ن: حجم السكان = 52 بطاقة
• K: عدد العناصر في المجتمع ذات خاصية معينة = 4 ملكات
• ن: حجم العينة = 2 تعادلات
• ك: عدد العناصر في العينة ذات خاصية معينة = 2 ملكات

وبالتعويض بهذه الأرقام في الصيغة نجد أن الاحتمال هو:

P(X=2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6*1/ 1326 = 0.00452 .

وهذا ينبغي أن يكون منطقيا بشكل حدسي. إذا تخيلت سحب ورقتين من مجموعة أوراق اللعب، واحدة تلو الأخرى، فإن احتمال أن تكون كلتا البطاقتين من فئة الملكات يجب أن يكون منخفضًا جدًا.

خصائص التوزيع الهندسي الزائد

يحتوي التوزيع الهندسي الفائق على الخصائص التالية:

متوسط التوزيع هو (nK) / N

تباين التوزيع هو (nK)(NK)(Nn) / (N ² (n-1))

مشاكل ممارسة التوزيع الهندسي الزائد

استخدم المسائل التدريبية التالية لاختبار معرفتك بالتوزيع الهندسي الزائد.

ملاحظة: سوف نستخدم حاسبة التوزيع الهندسي الزائدي لحساب الإجابات على هذه الأسئلة.

المشكلة 1

سؤال: لنفترض أننا اخترنا أربع بطاقات بشكل عشوائي من مجموعة البطاقات دون استبدالها. ما هو احتمال أن تكون ورقتان من البطاقات عبارة عن كوينز؟

للإجابة على ذلك، يمكننا استخدام التوزيع الهندسي الزائد مع المعلمات التالية:

• ن: حجم السكان = 52 بطاقة
• K: عدد العناصر في المجتمع ذات خاصية معينة = 4 ملكات
• ن: حجم العينة = 4 سحوبات
• ك: عدد العناصر في العينة ذات خاصية معينة = 2 ملكات

وبتعويض هذه الأرقام في حاسبة التوزيع الهندسي الزائد، نجد أن الاحتمال هو 0.025 .

المشكلة 2

سؤال: تحتوي الجرة على 3 كرات حمراء و 5 كرات خضراء. اخترت عشوائيا 4 كرات. ما هو احتمال أن تختار بالضبط كرتين حمراء؟

للإجابة على ذلك، يمكننا استخدام التوزيع الهندسي الزائد مع المعلمات التالية:

• ن: حجم السكان = 8 كرات
• ك: عدد العناصر في المجتمع ذات خاصية معينة = 3 كرات حمراء
• ن: حجم العينة = 4 سحوبات
• ك: عدد العناصر في العينة ذات صفة معينة = كرتان حمراء

وبتعويض هذه الأرقام في حاسبة التوزيع الهندسي الزائد، نجد أن الاحتمال هو 0.42857 .

المشكلة 3

السؤال: سلة تحتوي على 7 كرات أرجوانية و3 كرات وردية. قمت باختيار 6 كرات بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن تختار بالضبط 3 كرات وردية اللون؟

للإجابة على ذلك، يمكننا استخدام التوزيع الهندسي الزائد مع المعلمات التالية:

• N: حجم السكان = 10 كرات
• ك: عدد العناصر في المجتمع ذات خاصية معينة = 3 كرات وردية
• ن: حجم العينة = 6 سحوبات
• ك: عدد العناصر في العينة ذات صفة معينة = 3 كرات وردية

وبتعويض هذه الأرقام في حاسبة التوزيع الهندسي الزائد، نجد أن الاحتمال هو 0.16667 .