السكان مقابل نموذج الانحراف المعياري: متى يتم استخدام كل منهما

يعد الانحراف المعياري أحد أكثر الطرق شيوعًا لقياس توزيع القيم في مجموعة البيانات.

اتضح أن هناك نوعين مختلفين من الانحرافات المعيارية التي يمكنك حسابها، اعتمادًا على نوع البيانات التي تتعامل معها.

1. الانحراف المعياري للسكان

يجب عليك حساب الانحراف المعياري للسكان عندما تمثل مجموعة البيانات التي تعمل معها مجتمعًا كاملاً، أي كل قيمة تهمك.

صيغة حساب الانحراف المعياري للسكان، المشار إليها بـ σ، هي:

σ = √ Σ(x _i – μ) ² / N

ذهب:

• Σ : رمز يعني “المجموع”
• x _i : ^القيمة i في مجموعة البيانات
• μ : متوسط عدد السكان
• N : حجم السكان

2. مثال على الانحراف المعياري

يجب عليك حساب نموذج الانحراف المعياري عندما تمثل مجموعة البيانات التي تعمل معها عينة مأخوذة من مجموعة أكبر من السكان محل الاهتمام.

صيغة حساب الانحراف المعياري للعينة، والمشار إليها بـ s ، هي:

ق = √ Σ(س _ط – س̄) ² / (ن – 1)

ذهب:

• Σ : رمز يعني “المجموع”
• x _i : ^القيمة i في مجموعة البيانات
• x̄ : تعني العينة
• ن : حجم العينة

الانحراف المعياري للسكان عن العينة: الفرق

من الصيغ المذكورة أعلاه، يمكننا أن نرى أن هناك فرقًا بسيطًا بين المجتمع والانحراف المعياري للعينة: أثناء حساب الانحراف المعياري للعينة، قسمنا على n-1 بدلاً من N.

والسبب هو أنه عندما نحسب الانحراف المعياري للعينة، فإننا نميل إلى التقليل من تقدير التباين السكاني الحقيقي. بمعنى آخر، تقديرنا للانحراف المعياري السكاني الحقيقي متحيز.*

لتصحيح هذا الانحياز، نقسم على n-1. وقد ثبت أن هذا يجعل الانحراف المعياري للعينة تقديراً غير متحيز للانحراف المعياري للسكان.

* والدليل على ذلك خارج عن نطاق هذا المقال. للحصول على دليل رياضي، راجع مقالة Stack Exchange هذه .

السكان مقابل نموذج الانحراف المعياري: متى يتم استخدام كل منهما

استخدم المسائل التدريبية التالية لفهم متى يجب عليك استخدام المجتمع مقابل الانحراف المعياري للعينة بشكل أفضل.

مشكلة الممارسة 1: الرياضة

لنفترض أن مدرب كرة السلة يريد تلخيص المتوسط والانحراف المعياري للنقاط التي سجلها اللاعبون الـ 12 في فريقه.

عند حساب الانحراف المعياري للنقاط المسجلة، هل يجب استخدام صيغة الانحراف المعياري للسكان أو نموذج العينة؟

الإجابة: يجب عليه استخدام الانحراف المعياري للسكان لأنه مهتم فقط بالنقاط التي سجلها لاعبوه وليس اللاعبين الآخرين في فريق آخر.

مشكلة التدريب 2: الارتفاع

لنفترض أن مدرسًا في صالة الألعاب الرياضية يريد تلخيص المتوسط والانحراف المعياري لارتفاعات الطلاب في فصله.

عند حساب الانحراف المعياري للطول، هل يجب استخدام صيغة الانحراف المعياري للسكان أو نموذج العينة؟

الإجابة: يجب أن تستخدم الانحراف المعياري للسكان لأنها تهتم فقط بحجم الطلاب في ذلك الفصل المعين.

مشكلة الممارسة 3: علم الأحياء

لنفترض أن عالم الأحياء يريد تلخيص المتوسط والانحراف المعياري لوزن نوع معين من السلاحف. قررت الخروج وأخذ عينة عشوائية بسيطة مكونة من 20 سلحفاة من السكان.

عند حساب الانحراف المعياري للأوزان، هل يجب عليها استخدام صيغة الانحراف المعياري للسكان أو نموذج العينة؟

الإجابة: يجب عليها استخدام الانحراف المعياري للعينة لأنها مهتمة بوزن مجموعة السلاحف بأكملها، وليس فقط وزن السلاحف الموجودة في عينتها.

مشكلة الممارسة 4: التصنيع

لنفترض أن المفتش يريد تلخيص المتوسط والانحراف المعياري لوزن الإطارات المنتجة في مصنع معين. قرر أن يأخذ عينة عشوائية بسيطة مكونة من 40 إطارًا من المصنع ويزن كل إطار منها.

عند حساب الانحراف المعياري للأوزان، هل يجب استخدام صيغة الانحراف المعياري للسكان أو العينة؟

الجواب: يجب عليه استخدام الانحراف المعياري للعينة لأنه يهتم بوزن جميع الإطارات المنتجة في ذلك المصنع، وليس فقط وزن الإطارات في عينته.

مصادر إضافية

توفر البرامج التعليمية التالية معلومات إضافية حول الانحراف المعياري:

ما أهمية الانحراف المعياري؟
ما الذي يعتبر انحرافا معياريا جيدا؟
6 أمثلة على استخدام الانحراف المعياري في الحياة الحقيقية
معامل الاختلاف مقابل الانحراف المعياري: الفرق