إحصائيات التباين

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 3, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة ماهية إحصائية التباين، وما هي الصيغ الأكثر شيوعًا لإحصائيات التباين، وأكثر من ذلك، العلاقة بين إحصائية التباين ومنطقة الرفض ومنطقة القبول.

ما هي إحصائية التباين؟

إحصائية التباين هي متغير ذو توزيع احتمالي معروف يتعلق بفرضية الدراسة. على وجه التحديد، يتم استخدام إحصائية التباين في اختبار الفرضيات لرفض أو قبول فرضية العدم.

في الواقع، يعتمد القرار بشأن رفض الفرضية الصفرية لاختبار الفرضية على قيمة إحصائية الاختبار. إذا كانت قيمة إحصائية الاختبار تقع في منطقة الرفض، يتم رفض الفرضية الصفرية. أما إذا كانت قيمة إحصائية الاختبار تقع ضمن منطقة القبول يتم قبول الفرضية الصفرية.

➤ انظر: اختبار الفرضيات (الإحصائيات)

صيغ إحصائيات التباين

اعتمادًا على نوع اختبار الفرضيات، يختلف توزيع إحصائية الاختبار. ولذلك تعتمد صيغة إحصائية الاختبار أيضًا على نوع اختبار الفرضيات. لذا سنرى بعد ذلك كيف يتم حساب إحصائية الاختبار اعتمادًا على نوع اختبار الفرضية.

إحصائية التباين للمتوسط

صيغة إحصائية اختبار الفرضية للمتوسط ذو التباين المعروف هي:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

ذهب:

$Z$

هي إحصائية اختبار الفرضية للمتوسط.
$\overline{x}$

هي وسيلة العينة.
$\mu$

هو متوسط القيمة المقترحة.
$\sigma$

هو الانحراف المعياري للسكان.
$n$

هو حجم العينة.

بمجرد حساب إحصائية تباين الفرضية للوسط، يجب تفسير النتيجة لرفض أو رفض الفرضية الصفرية:

إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط ذو وجهين، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت القيمة المطلقة للإحصاء أكبر من القيمة الحرجة Z _α/2 .
إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط يتطابق مع الذيل الأيمن، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أكبر من القيمة الحرجة Z _α .
إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط يطابق الذيل الأيسر، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أقل من القيمة الحرجة -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

وفي هذه الحالة يتم الحصول على القيم الحرجة من جدول التوزيع الطبيعي الموحد.

من ناحية أخرى، فإن صيغة إحصائية اختبار الفرضية للمتوسط ذو التباين غير المعروف هي:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

ذهب:

$t$

هي إحصائية اختبار الفرضية للمتوسط، والتي يتم تحديدها من خلال توزيع الطالب.
$\overline{x}$

هي وسيلة العينة.
$\mu$

هو متوسط القيمة المقترحة.
$s$

هو الانحراف المعياري للعينة.
$n$

هو حجم العينة.

كما كان من قبل، يجب تفسير النتيجة المحسوبة لإحصائيات التباين بالقيمة الحرجة لرفض أو عدم فرضية العدم:

إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط ذو وجهين، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت القيمة المطلقة للإحصاء أكبر من القيمة الحرجة t _α/2|n-1 .
إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط يتطابق مع الذيل الأيمن، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أكبر من القيمة الحرجة t _α|n-1 .
إذا كان اختبار الفرضية للمتوسط يتطابق مع الذيل الأيسر، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أقل من القيمة الحرجة -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

عندما يكون التباين غير معروف، يتم الحصول على قيم الاختبار الحرجة من جدول توزيع الطالب.

➤ انظر: اختبار الفرضية للوسط

إحصائية التباين للنسبة

صيغة إحصائية اختبار الفرضية للنسبة هي:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

ذهب:

$Z$

هو اختبار الفرضية الإحصائية للنسبة.
$\widehat{p}$

هي نسبة العينة
$p$

هي قيمة النسبة المقترحة.
$n$

هو حجم العينة.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

هو الانحراف المعياري للنسبة.

ضع في اعتبارك أنه لا يكفي حساب إحصائية اختبار الفرضية للنسبة، ولكن يجب بعد ذلك تفسير النتيجة:

إذا كان اختبار الفرضية للنسبة ذو وجهين، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت القيمة المطلقة للإحصاء أكبر من القيمة الحرجة Z _α/2 .
إذا كان اختبار الفرضية للنسبة يتطابق مع الذيل الأيمن، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أكبر من القيمة الحرجة Z _α .
إذا كان اختبار الفرضية للنسبة يطابق الذيل الأيسر، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أقل من القيمة الحرجة -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

تذكر أنه يمكن الحصول بسهولة على القيم الحرجة من جدول التوزيع الطبيعي القياسي.

➤ انظر: اختبار الفرضيات للتناسب

إحصائية التباين للتباين

صيغة حساب إحصائية اختبار الفرضية للتباين هي:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

ذهب:

$\chi^2$

هي إحصائية اختبار الفرضية للتباين، والتي لها توزيع مربع كاي.
$n$

هو حجم العينة.
$s^2$

هو تباين العينة.
$\sigma^2$

هو تباين السكان المقترح.

ولتفسير نتيجة الإحصائية، يجب مقارنة القيمة التي تم الحصول عليها بالقيمة الحرجة للاختبار.

إذا كان اختبار فرضية التباين ثنائي الطرف، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أكبر من القيمة الحرجة.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

أو إذا كانت القيمة الحرجة أقل من

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
إذا كان اختبار الفرضية للتباين يتطابق مع الذيل الأيمن، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أكبر من القيمة الحرجة
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
إذا كان اختبار فرضية التباين يتطابق مع الذيل الأيسر، فسيتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت الإحصائية أقل من القيمة الحرجة
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

يتم الحصول على قيم اختبار الفرضية الحرجة للتباين من جدول توزيع مربع كاي. لاحظ أن درجات حرية توزيع مربع كاي هي حجم العينة ناقص 1.

➤ انظر: اختبار فرضية التباين

إحصائية التباين ومنطقة الرفض ومنطقة القبول

في اختبار الفرضيات، منطقة الرفض هي منطقة الرسم البياني لتوزيع إحصائية الاختبار التي تتضمن رفض الفرضية الصفرية (وقبول الفرضية البديلة). ومن ناحية أخرى، منطقة القبول هي منطقة الرسم البياني لتوزيع إحصائية الاختبار التي تتضمن قبول الفرضية الصفرية (ورفض الفرضية البديلة).

وبالتالي فإن قيمة إحصائية التباين تحدد نتيجة اختبار الفرضية بالطريقة التالية:

إذا كانت إحصائية الاختبار تقع ضمن منطقة الرفض، يتم رفض الفرضية الصفرية وقبول الفرضية البديلة.
إذا كانت إحصائية الاختبار تقع ضمن منطقة القبول، يتم قبول الفرضية الصفرية ورفض الفرضية البديلة.

تسمى القيم التي تفصل منطقة الرفض عن منطقة القبول بالقيم الحرجة . ولذلك نحتاج إلى حساب القيم الحرجة لمعرفة حدود منطقة الرفض ومنطقة القبول وبالتالي معرفة متى نرفض ومتى نقبل الفرضية الصفرية.

➤ انظر: القيمة الحرجة

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

ما هي إحصائية التباين؟

صيغ إحصائيات التباين

إحصائية التباين للمتوسط

إحصائية التباين للنسبة

إحصائية التباين للتباين

إحصائية التباين ومنطقة الرفض ومنطقة القبول

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

Add a Comment