بديهيات الاحتمال

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 1, 2023 غير مصنف 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هي بديهيات الاحتمال. لذلك ستجد التعريف البديهي للاحتمال، وما هي البديهيات المختلفة للاحتمال ومثال لتطبيقها.

ما هي البديهيات الثلاثة للاحتمال؟

بديهيات الاحتمال هي:

بديهية الاحتمال 1 : لا يمكن أن يكون احتمال وقوع حدث سلبيًا.
بديهية الاحتمال 2 : احتمال وقوع حدث معين هو 1.
بديهية الاحتمال 3 : احتمال مجموعة من الأحداث الحصرية يساوي مجموع كل الاحتمالات.

تُعرف بديهيات الاحتمال الثلاثة أيضًا باسم بديهيات كولموغوروف ، لأنها صاغها عالم الرياضيات الروسي في عام 1933.

يتم شرح كل نوع من بديهيات الاحتمالية بمزيد من التفاصيل أدناه.

اكسيوم 1

تقول البديهية الأولى للاحتمال أن احتمال وقوع حدث لا يمكن أن يكون سالبًا، وبالتالي فإن قيمته تتراوح بين 0 و1.

$0\leq P(A)\leq 1$

إذا كان احتمال وقوع الحدث صفراً، فهذا يعني أنه من المستحيل حدوثه. ومن ناحية أخرى، إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو 1، فهذا يعني أن هذا الحدث سيحدث بالتأكيد. لذا، كلما زادت قيمة احتمال وقوع حدث ما، زاد احتمال وقوعه.

البديهية 2

تنص بديهية الاحتمال الثانية على أن احتمال وقوع حدث معين يساوي 1.

$P(\Omega)=1$

حدث معين هو نتيجة لتجربة عشوائية ستحدث دائمًا. لذلك، يمكن أيضًا تعريف الحدث الآمن على أنه مساحة العينة لتجربة عشوائية.

➤ انظر: حدث آمن

اكسيوم 3

تنص البديهية الثالثة للاحتمال على أنه، في ضوء مجموعة من الأحداث الحصرية، فإن الاحتمال المشترك لجميع الأحداث يعادل مجموع جميع احتمالات الحدوث.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

يكون حدثان أو أكثر حصريين عندما لا يمكن حدوثهما في نفس الوقت. لذلك، لحساب الاحتمال المشترك، ليس من الضروري أن نأخذ في الاعتبار احتمال حدوثهما في وقت واحد.

➤ انظر: استبعاد الأحداث

مثال على البديهيات الاحتمالية

على سبيل المثال، سنقوم أدناه بتحليل العديد من نتائج تجربة رمي حجر النرد حتى تتمكن من رؤية أن بديهيات الاحتمال قد تحققت.

عند رمي حجر النرد، هناك ست نتائج محتملة، وهي كما يلي:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

في هذه الحالة، جميع النتائج متساوية في احتمال حدوثها، لذا لتحديد احتمال حدوث كل نتيجة، علينا ببساطة إيجاد احتمال حدوث نتيجة ما. لذا، فإننا نطبق صيغة قاعدة لابلاس لحساب احتمال كل نتيجة محتملة:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

ومن ثم، بما أن احتمال الحصول على كل نتيجة موجب، فإن بديهية الاحتمال الأولى تكون مستوفاة.

الآن دعونا نتحقق من البديهية الثانية. في هذه الحالة، حدث معين “يحصل على رقم من 1 إلى 6″، لذلك نضيف احتمال الحصول على كل نتيجة:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

وبالتالي فإن احتمال وقوع حدث معين يساوي 1، وبالتالي تتحقق مسلمة الاحتمال الثانية أيضًا.

وأخيرا، كل ما تبقى هو التحقق من بديهية الاحتمال الثالثة. النتائج المختلفة التي يمكننا الحصول عليها عن طريق رمي حجر النرد هي نتائج متنافية، لأنه على سبيل المثال، إذا رمينا 2، فلن نتمكن من الحصول على 5. لذلك، يمكن إجراء الحساب للحصول على أي رقمين بطريقتين: استخدام قاعدة لابلاس أو بإضافة احتمال كل نتيجة.

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

وفي كلتا الحالتين نحصل على نفس قيمة الاحتمال، وبالتالي فإن بديهية الاحتمال الثالثة صحيحة أيضًا.

الخصائص المشتقة من بديهيات الاحتمال

ومن بديهيات الاحتمال الثلاثة، يمكننا أن نستنتج الخصائص التالية:

احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

$P(\varnothing)=0$

احتمال أي حدث يساوي أو أقل من 1.

$P(A)\leq 1$

$0\leq P(A)\leq 1$

احتمال وقوع حدث يساوي واحدًا ناقص احتمال الحدث المكمل له.

$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

إذا تم تضمين حدث في حدث آخر، فيجب أن يكون احتمال الحدث الأول أقل من أو يساوي احتمال الحدث الثاني.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

احتمال اتحاد حدثين هو مجموع احتمالاتهما مطروحًا منه احتمال تقاطعهما.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

بالنظر إلى مجموعة من الأحداث غير المتوافقة اثنين في اثنين، يتم حساب احتمالها المشترك عن طريق إضافة احتمال حدوث كل حدث.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

إذا كان فضاء العينة محدودًا وكان الحدث S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k }، فإن احتمال وقوع الحدث المذكور يعادل التعبير التالي:

$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر