توزيع برنولي

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 4, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو توزيع برنولي وما هي صيغته. بالإضافة إلى ذلك، سوف تجد خصائص توزيع برنولي وتمرينًا محلولًا لفهم معناه بشكل أفضل.

ما هو توزيع برنولي؟

توزيع برنولي ، المعروف أيضًا باسم التوزيع الثنائي ، هو توزيع احتمالي يمثل متغيرًا منفصلاً يمكن أن يكون له نتيجتين فقط: “النجاح” أو “الفشل”.

في توزيع برنولي، “النجاح” هو النتيجة التي نتوقعها وقيمتها 1، في حين أن نتيجة “الفشل” هي نتيجة غير المتوقعة وقيمتها 0. لذلك، إذا كان احتمال نتيجة ” النجاح” هو p ، واحتمال نتيجة “الفشل” هو q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

تم تسمية توزيع برنولي على اسم الإحصائي السويسري جاكوب برنولي.

في الإحصاء، توزيع برنولي له تطبيق واحد بشكل أساسي: تحديد احتمالات التجارب التي لا يوجد فيها سوى نتيجتين محتملتين: النجاح والفشل. لذا، فإن التجربة التي تستخدم توزيع برنولي تسمى اختبار برنولي أو تجربة برنولي.

صيغة توزيع برنولي

إذا كان p هو احتمال حدوث نتيجة “النجاح”، فإن احتمال توزيع برنولي يساوي p مرفوعًا إلى x مضروبًا في 1-p مرفوعًا إلى 1-x . وبالتالي يمكن حساب احتمالات توزيع برنولي باستخدام الصيغة التالية :

لاحظ أنه في توزيع برنولي، يمكن أن تكون قيمة x 0 (فشل) أو 1 (نجاح) فقط.

من ناحية أخرى، يمكن أيضًا كتابة الصيغة السابقة باستخدام التعبير المكافئ التالي:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

مثال لتوزيع برنولي

الآن بعد أن عرفنا تعريف توزيع برنولي وما هي صيغته، دعونا نرى مثالاً ملموسًا لتوزيع برنولي.

للفوز بلعبة ما، يجب على اللاعب رمي حجر النرد والحصول على 2، وإلا سيفوز لاعب آخر باللعبة وبالتالي ستخسر اللعبة. احسب احتمالية النجاح والفشل.

يحتوي حجر النرد على ست نتائج محتملة (1، 2، 3، 4، 5، 6)، لذا فإن فضاء عينة التجربة في هذه الحالة هو:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

في حالتنا، حالة النجاح الوحيدة هي الحصول على الرقم اثنين، وبالتالي فإن احتمال النجاح عند تطبيق قاعدة لابلاس يساوي واحدًا مقسومًا على إجمالي عدد النتائج المحتملة (6):

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

من ناحية أخرى، إذا ظهر رقم آخر عند رمي النرد، فستعتبر نتيجة التجربة فاشلة، حيث سيخسر اللاعب اللعبة. وبالتالي فإن هذا الاحتمال يعادل واحدًا ناقص الاحتمال المحسوب مسبقًا:

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

باختصار، يتم تعريف توزيع برنولي لهذه التجربة بالتعبير التالي:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

كما ترون أدناه، يمكن أيضًا العثور على احتمالات توزيع برنولي من خلال تطبيق الصيغة الموضحة أعلاه:

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

خصائص توزيع برنولي

فيما يلي أهم خصائص توزيع برنولي.

يمكن أن يأخذ توزيع برنولي القيمة 1 (النجاح) أو 0 (الفشل) فقط.

$x=\{0\ ; 1\}$

متوسط توزيع برنولي يعادل احتمال حدوث نتيجة “النجاح”.

$E[X]=p$

يمكن حساب تباين توزيع برنولي بضرب احتمالات حدوث نتيجة “النجاح” و”الفشل”. أو بشكل مكافئ، التباين هو p ضرب 1-p .

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

تعتمد قيمة نمط توزيع برنولي على احتمالات “النجاح” و”الفشل”. وبالتالي يتم تعريف طريقة هذا النوع من التوزيع بالتعبير التالي:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...> The formula for the probability function
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

من ناحية أخرى، يتم تعريف دالة الاحتمال التراكمي لتوزيع برنولي بالتعبير التالي:

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

يتم حساب معامل عدم التماثل لتوزيع برنولي بالتعبير التالي:

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

وبالمثل، يعتمد التفرطح في توزيع برنولي على قيمة المعلمة p ويمكن العثور عليه من خلال تطبيق الصيغة التالية:

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

توزيع برنولي والتوزيع ذي الحدين

في هذا القسم، سنرى الفرق بين توزيع برنولي والتوزيع ذي الحدين، حيث أنهما نوعان من التوزيعات الاحتمالية المرتبطة.

يحسب التوزيع ذو الحدين عدد النتائج “الناجحة” التي تم الحصول عليها من مجموعة تجارب برنولي. يجب أن تكون تجارب برنولي هذه مستقلة ولكن يجب أن يكون لها نفس احتمالية النجاح.

لذلك، التوزيع ذو الحدين هو مجموع مجموعة من المتغيرات التي تتبع توزيع برنولي ، كلها محددة بواسطة نفس المعلمة p .

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

لذلك في توزيع برنولي هناك تجربة برنولي واحدة فقط، بينما في التوزيع ذي الحدين هناك سلسلة من تجارب برنولي.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر