توزيع مربع كاي

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 4, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو توزيع كاي تربيع وفيم يُستخدم. بالإضافة إلى ذلك، سوف تجد الرسم البياني لتوزيع مربع كاي وخصائصه.

ما هو توزيع مربع كاي؟

توزيع مربع كاي هو توزيع احتمالي رمزه χ². بتعبير أدق، توزيع مربع كاي هو مجموع مربع المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوزيع الطبيعي.

وبالتالي، فإن توزيع مربع كاي له درجات الحرية k . لذلك، فإن توزيع مربع كاي له درجات حرية تساوي مجموع مربعات المتغيرات الموزعة طبيعيًا التي يمثلها.

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

يُعرف توزيع مربع كاي أيضًا بتوزيع بيرسون .

تجدر الإشارة إلى أن توزيع مربع كاي هو حالة خاصة لتوزيع جاما.

يُستخدم توزيع مربع كاي على نطاق واسع في الاستدلال الإحصائي، على سبيل المثال في اختبار الفرضيات وفترات الثقة. وسنرى أدناه ما هي تطبيقات هذا النوع من التوزيع الاحتمالي.

الرسم البياني لتوزيع مربع كاي

وبمجرد أن نرى تعريف توزيع مربع كاي، سنرى عدة أمثلة على هذا النوع من التوزيع ممثلة بيانيا. أدناه يمكنك أن ترى كيف يختلف الرسم الاحتمالي لتوزيع مربع كاي اعتمادًا على درجات الحرية.

تم توضيح دالة الكثافة لتوزيع مربع كاي في الرسم البياني أعلاه. من ناحية أخرى، فإن الرسم البياني لدالة التوزيع الاحتمالي التراكمي لمربع كاي هو كما يلي:

الرسم البياني للتوزيع التراكمي لمربع كاي

➤ انظر: جدول توزيع مربع كاي

خصائص توزيع مربع كاي

سنرى في هذا القسم أهم خصائص توزيع مربع كاي المتعلقة بنظرية الاحتمالات والإحصاء.

متوسط توزيع مربع كاي يساوي درجات الحرية.

$\begin{array}{c}X\sim\chi^2_k\\[2ex] E[X]=k\end{array}$

إن تباين توزيع مربع كاي يساوي ضعف درجات حرية التوزيع.

$\begin{array}{c}X\sim\chi^2_k\\[2ex] Var(X)=2\cdot k\end{array}$

يكون نمط توزيع مربع كاي أقل بوحدتين من درجات الحرية الخاصة به، طالما أن التوزيع له أكثر من درجة حرية واحدة.

$Mo=k-2 \qquad \text{si } k\geq 2$

دالة الكثافة لتوزيع مربع كاي هي صفر إذا كانت x=0. ومع ذلك، بالنسبة لقيم x أكبر من 0، يتم تحديد دالة الكثافة لتوزيع مربع كاي بالصيغة التالية:

$\displaystyle P[X=x]= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}$

تخضع دالة التوزيع التراكمي لتوزيع مربع كاي للصيغة التالية:

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}$

معامل التواء توزيع مربع كاي هو الجذر التربيعي لحاصل ثمانية مقسومًا على عدد درجات حرية التوزيع.

$\displaystyle A=\sqrt{\frac{8}{k}}$

يتم حساب التفرطح لتوزيع مربع كاي باستخدام التعبير التالي:

$C=3+\cfrac{12}{k}$

بسبب نظرية الحد المركزي، يمكن تقريب توزيع مربع كاي بالتوزيع الطبيعي إذا كانت k كبيرة بدرجة كافية.

$\displaystyle\lim_{k \to \infty} \frac{\chi^2_k (x)}{ k } = N_{\left(1,\sqrt{2/k}\right)} (x)$

تطبيقات توزيع مربع كاي

توزيع مربع كاي له العديد من التطبيقات المختلفة في الإحصاء. في الواقع، يوجد أيضًا اختبار مربع كاي الذي يستخدم للتحقق من الاستقلال بين المتغيرات ومدى ملاءمة التوزيع النظري. على سبيل المثال، يمكن استخدام اختبار مربع كاي لتحديد ما إذا كانت بيانات العينة تتوافق مع توزيع بواسون.

في تحليل الانحدار الخطي، يتم استخدام توزيع مربع كاي أيضًا لتقدير متوسط السكان الموزعين بشكل طبيعي ولتقدير ميل خط دراسة الانحدار الخطي.

وأخيرا فإن توزيع مربع كاي يساهم أيضا في تحليل التباين من خلال علاقته بتوزيع سنديكور F.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر