حجم العينة

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 3, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة حجم العينة وسبب أهميتها في الإحصائيات. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكتشف كيفية حساب حجم العينة المناسب وتمرينًا تم حله حتى تتمكن من رؤية كيفية القيام بذلك.

ما هو حجم العينة؟

حجم العينة (أو حجم العينة ) هو عدد الأفراد الذين يشكلون عينة الدراسة. في الإحصاء، حجم العينة مهم بحيث تكون العينة ممثلة لجميع السكان.

ولذلك فإن حجم عينة الدراسة الإحصائية يجب أن يكون كبيرا بما يكفي لتمثيل خصائص المجتمع بأكمله. ومن ناحية أخرى، لا يمكن أن يكون حجم العينة كبيرًا جدًا، لأن البحث يصبح بعد ذلك أكثر تكلفة. وفي الختام، ينبغي أن يكون حجم العينة مناسبا، وليس كبيرا جدا ولا صغيرا جدا.

على سبيل المثال، إذا أردنا إجراء تحليل لارتفاع بلد ما، فلا يمكننا أن نسأل عن ارتفاع جميع سكان البلد، لأن المسح سيستغرق وقتًا طويلاً وسيكون مكلفًا للغاية. ولذلك فمن الضروري إجراء أخذ عينات عشوائية ومقابلة عينة تمثيلية فقط من السكان.

➤ انظر: أنواع أخذ العينات

وكيف يمكننا معرفة حجم العينة المناسب؟ وسنرى في القسم التالي كيفية تحديد حجم العينة المناسب بناءً على متطلبات البحث.

كيفية حساب حجم العينة

ولتقدير المتوسط، يكون حجم العينة المطلوب يساوي مربع Z _α/2 مضروبًا في الانحراف المعياري (σ) مقسومًا على هامش الخطأ المطلوب (e). وبالتالي فإن صيغة حساب حجم العينة هي:

$\displaystyle n=\left(\frac{Z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{e}\right)^2$

ذهب:

$n$

هو حجم العينة.
$\alpha$

هو المستوى المطلوب من الأهمية. مع الأخذ في الاعتبار هذا

$1-\alpha$

هو مستوى الثقة المطلوب.
$Z_{\alpha/2}$

هو مقدار التوزيع الطبيعي القياسي المطابق لاحتمال α/2. بالنسبة لأحجام العينات الكبيرة ومستوى الثقة 95%، يكون عادةً قريبًا من 1.96، أما بالنسبة لمستوى الثقة 99%، فهو عادةً قريب من 2.576.
$\sigma$

هو الانحراف المعياري.

ضع في اعتبارك أنه من المفترض في هذه الصيغة أن حجم السكان لا نهائي، أي أن حجم السكان كبير جدًا أو غير معروف.

ملاحظة: الصيغة أعلاه مشتقة من فاصل صيغة الثقة للمتوسط .

مثال لحساب حجم العينة

سنقوم في هذا القسم بحساب حجم العينة المناسب للمسح الإحصائي كمثال.

نحن نعلم أن الانحراف المعياري للسكان يبلغ حوالي 15، لكننا لا نعرف متوسطه، لذلك نريد إجراء دراسة لتقدير المتوسط. ما حجم العينة الذي نحتاجه إذا أردنا هامش خطأ قدره ±2 ومستوى ثقة يبلغ 95%؟

كما رأينا أعلاه، فإن صيغة حساب حجم العينة هي:

$\displaystyle n=\left(\frac{Z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{e}\right)^2$

في هذه الحالة، يكون مستوى الثقة المطلوب هو 95%، وبالتالي فإن قيمة Z _α/2 المقابلة هي 1.96.

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

➤ انظر: جدول يحتوي على قيم مستوى الثقة

أخيرًا، الآن بعد أن عرفنا قيمة جميع المعلمات، نستبدل قيمها في الصيغة ونحسب حجم العينة:

$\begin{aligned}\displaystyle n&=\left(\frac{Z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{e}\right)^2\\[2ex] n&=\left(\frac{1,96\cdot 15}{2}\right)^2\\[2ex] n&=216,09 \approx 217 \end{array}$

باختصار، لتقدير متوسط عدد السكان بالمتطلبات المطلوبة، نحتاج على الأقل إلى عينة مكونة من 217 فرداً.

حجم العينة ومستوى الثقة وهامش الخطأ

اعتمادًا على مستوى الثقة وهامش الخطأ المطلوب، سيختلف حجم العينة المطلوبة. وبالتالي، يرتبط حجم العينة ومستوى الثقة وهامش الخطأ على النحو التالي:

يتناسب حجم العينة ومستوى الثقة بشكل مباشر. أي أنه إذا زاد مستوى الثقة، فإن حجم العينة سيزداد أيضًا.
يتناسب حجم العينة وهامش الخطأ عكسيا. لذلك، إذا زاد هامش الخطأ، انخفض حجم العينة.
ولذلك فإن زيادة حجم العينة يمكن أن يزيد من مستوى الثقة أو يقلل من هامش الخطأ.

صيغ حجم العينة الأخرى

اعتمادًا على المعلمة التي سيتم تقديرها، تختلف صيغة حجم العينة الضروري قليلاً. ولذلك، سنرى في هذا القسم صيغًا أخرى يمكن أن تكون مفيدة لحساب حجم العينة في بعض الحالات الخاصة.

حجم العينة نسبة

معادلة حساب حجم العينة اللازمة لتقدير النسبة (p) هي:

$n=\cfrac{N\cdot Z_{\alpha/2}^2\cdot p\cdot (1-p)}{e^2\cdot (N-1)+Z_{\alpha/2}^2\cdot p\cdot (1-p)}$

حجم العينة الاحتمالية

عندما تريد تقدير الاحتمالية، فمن المستحسن استخدام الصيغة التالية لتحديد حجم العينة اللازم:

$\displaystyle n=\left(\frac{Z_{\alpha/2}}{2\cdot e}\right)^2$

حجم العينة لمقارنة وسيلتين مستقلتين

إن صيغة حساب حجم العينة عند مقارنة وسيلتين مستقلتين مع وجود خطر α وخطر β معين هي كما يلي:

$n=\cfrac{2\cdot \sigma^2 \cdot \left(Z_{\alpha/2}+Z_\beta\right)}{\Delta^2}$

ذهب

$\Delta$

هو الفرق بين وسيلتي الفرضية البديلة.

حجم العينة لمقارنة وسيلتين مقترنتين

إذا كنت تريد مقارنة وسطين مقترنين بخطأ ثابت α وخطأ β، فإن الصيغة المستخدمة للعثور على عدد الملاحظات في العينة هي:

$n=\cfrac{2\cdot \sigma_d^2 \cdot \left(Z_{\alpha/2}+Z_\beta\right)}{\Delta^2}$

ذهب

$\Delta$

هو الفرق بين الوسيلتين المقترنتين للفرضية البديلة و

$\sigma_d^2$

إنه تباين الاختلافات بين قياسين لنفس الفرد.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر