كيفية حساب فاصل الثقة لاعتراض الانحدار

يتم استخدام الانحدار الخطي البسيط لتحديد العلاقة بين متغير التوقع ومتغير الاستجابة.

تبحث هذه الطريقة عن الصف الذي “يطابق” أفضل مجموعة من البيانات ويأخذ النموذج التالي:

ŷ = ب ₀ + ب ₁ س

ذهب:

• ŷ : قيمة الاستجابة المقدرة
• ب ₀ : أصل خط الانحدار
• ب ₁ : ميل خط الانحدار
• x : قيمة المتغير التنبؤي

غالبًا ما نهتم بقيمة b ₁ ، التي تخبرنا بمتوسط التغير في متغير الاستجابة المرتبط بزيادة وحدة واحدة في المتغير المتنبئ.

ومع ذلك، في حالات نادرة، نهتم أيضًا بقيمة _b0 ، والتي تخبرنا بالقيمة المتوسطة لمتغير الاستجابة عندما يكون المتغير المتنبئ صفرًا.

يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب فاصل الثقة لقيمة β ₀ ، ثابت السكان الحقيقي:

فاصل الثقة لـ β ₀ : b ₀ ± t _{α/2, n-2} * se(b ₀ )

يوضح المثال التالي كيفية حساب فاصل الثقة للتقاطع عمليًا.

مثال: فاصل الثقة لاعتراض الانحدار

لنفترض أننا نريد ملاءمة نموذج الانحدار الخطي البسيط باستخدام ساعات الدراسة كمتغير متوقع ودرجات الامتحان كمتغير استجابة لـ 15 طالبًا في فصل معين:

يوضح الكود التالي كيفية ملاءمة نموذج الانحدار الخطي البسيط هذا في R:

 #create data frame
df <- data. frame (hours=c(1, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 10, 11, 11, 12, 12, 14),
                 score=c(64, 66, 76, 73, 74, 81, 83, 82, 80, 88, 84, 82, 91, 93, 89))

#fit simple linear regression model
fit <- lm(score ~ hours, data=df)

#view summary of model
summary(fit)

Call:
lm(formula = score ~ hours, data = df)

Residuals:
   Min 1Q Median 3Q Max 
-5,140 -3,219 -1,193 2,816 5,772 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 65,334 2,106 31,023 1.41e-13 ***
hours 1.982 0.248 7.995 2.25e-06 ***
---
Significant. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 3.641 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.831, Adjusted R-squared: 0.818 
F-statistic: 63.91 on 1 and 13 DF, p-value: 2.253e-06

وباستخدام تقديرات المعاملات في النتيجة يمكننا كتابة نموذج الانحدار الخطي البسيط المجهز كما يلي:

النتيجة = 65.334 + 1.982*(ساعات الدراسة)

قيمة التقاطع هي 65.334. يخبرنا هذا أن متوسط درجات الاختبار المقدرة للطالب الذي يدرس لمدة صفر ساعة هو 65,334 .

يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب فاصل ثقة 95% للتقاطع:

• 95% CI لـ β ₀ : b ₀ ± t _{α/2, n-2} * se(b ₀ )
• 95% CI لـ β ₀ : 65.334 ± t _0.05/2.15-2 *2.106
• 95% CI لـ β ₀ : 65.334 ± 2.1604*2.106
• 95% CI لـ β ₀ : [60.78، 69.88]

نفسر هذا على أنه يعني أننا متأكدون بنسبة 95٪ من أن متوسط درجات الاختبار الفعلي للطلاب الذين يدرسون لمدة صفر ساعة يتراوح بين 60.78 و69.88.

ملاحظة : استخدمنا حاسبة توزيع t العكسية للعثور على قيمة t الحرجة التي تتوافق مع مستوى ثقة 95% مع 13 درجة حرية.

احتياطات لحساب فاصل الثقة لاعتراض الانحدار

من الناحية العملية، غالبًا لا نحسب فاصل الثقة لاعتراض الانحدار، لأنه عادةً ليس من المنطقي تفسير قيمة التقاطع في نموذج الانحدار.

على سبيل المثال، لنفترض أننا نلائم نموذج الانحدار الذي يستخدم طول لاعب كرة السلة كمتغير متوقع ومتوسط النقاط لكل مباراة كمتغير الاستجابة.

من غير الممكن أن يكون طول اللاعب صفر قدم، لذلك لن يكون من المنطقي تفسير الاعتراض حرفيًا في هذا النموذج.

هناك عدد لا يحصى من السيناريوهات المشابهة التي لا يمكن فيها لمتغير التوقع أن يأخذ القيمة صفر. لذلك ليس من المنطقي تفسير القيمة الأصلية للنموذج أو إنشاء فاصل ثقة للأصل.

على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار متغيرات التوقع المحتملة التالية في النموذج:

• مساحة المنزل
• طول السيارة
• وزن الشخص

لا يمكن لكل من هذه المتغيرات المتوقعة أن يأخذ القيمة صفر. ولذلك لن يكون من المنطقي حساب فاصل الثقة لأصل نموذج الانحدار في أي من هذه الظروف.

مصادر إضافية

توفر البرامج التعليمية التالية معلومات إضافية حول الانحدار الخطي:

مقدمة إلى الانحدار الخطي البسيط
مقدمة في الانحدار الخطي المتعدد
كيفية قراءة وتفسير جدول الانحدار
كيفية الإبلاغ عن نتائج الانحدار