قانون بنفورد

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 3, 2023 احتمالا 0 Comments

يشرح هذا المقال ما هو قانون بنفورد. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من معرفة كيف تم اكتشاف قانون بنفورد وما هي تطبيقات هذا القانون الإحصائي.

ما هو قانون بنفورد؟

قانون بنفورد ، ويسمى أيضًا قانون الرقم الأول ، هو قانون إحصائي ينص على أن احتمال أن يكون الرقم الأول من جزء من البيانات هو 1 أكبر من احتمال أن يكون رقمًا آخر.

بمعنى آخر، ينص قانون بنفورد على أنه في مجموعة من البيانات الرقمية الموجودة في الحياة الواقعية، فإن الرقم 1 هو الرقم الأكثر تكرارًا باعتباره الرقم الأول من البيانات.

بالإضافة إلى ذلك، كلما زاد العدد، قل احتمال وصولك إلى المركز الأول. لذلك، فإن الرقم الأول هو على الأرجح 1 وليس 2، ولكن 2 هو أكثر احتمالا من 3، و3 هو أكثر احتمالا من 4، وهكذا.

يرجع اسم قانون بنفورد إلى الأمريكي فرانك بنفورد. على الرغم من أنه لم يخترعها، إلا أن بنفورد قام بنشر هذه القاعدة الإحصائية. أدناه سنرى أصل قانون بنفورد.

صيغة قانون بنفورد

ينص قانون بنفورد على أن احتمال أن يكون الرقم الأول هو رقم معين يساوي لوغاريتم واحد زائد واحد على هذا الرقم.

وبالتالي فإن صيغة قانون بنفورد هي كما يلي:

$\begin{array}{c}\displaystyle P[X=d]=\log_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right)\\[4ex]d=1,2,3,\ldots ,9\end{array}$

لذلك، من صيغة قانون بنفورد، يمكننا استخلاص احتمال أن يكون كل رقم هو الرقم الأول في عنصر البيانات. في الجدول التالي يمكنك رؤية النسب المئوية لجميع الاحتمالات:

شكل	احتمال ذلك يكون الرقم الأول
1	30.1%
2	17.6%
3	12.5%
4	9.7%
5	7.9%
6	6.7%
7	5.8%
8	5.1%
9	4.6%

بالإضافة إلى ذلك، أدناه يمكنك رؤية الرسم البياني الذي يتم فيه تمثيل جميع احتمالات قانون بنفورد بيانيا:

تاريخ قانون بنفورد

في عام 1881، استنتج عالم الرياضيات سيمون نيوكومب قانون بنفورد عندما اكتشف أن الصفحات الأولى من جداول اللوغاريتم تم استخدامها بشكل كبير أكثر من الصفحات الأخيرة. مما يعني أن الأرقام الأولى من الأرقام ليست متساوية في الاحتمال، ولكن 1 كان أكثر تكرارًا من 2، و2 أكثر تكرارًا من 3، وهكذا حتى 9.

ومع ذلك، لم يترك نيوكومب أي دليل إحصائي على اتباع هذه القاعدة، بل قام ببساطة بالخصم من تآكل الجداول اللوغاريتمية.

لاحقًا، وتحديدًا في عام 1938، أدلى الفيزيائي فرانك بنفورد بنفس الملاحظة وأجرى أيضًا تجربة للتحقق منها تجريبيًا. وعلى مجموعة بيانات إحصائية مكونة من 20229 قيمة من 20 عينة مختلفة، أجرى دراسة على الرقم الأول من كل بيانات. لذلك، بناءً على النتائج، أثبت أن قانون بنفورد قد تم استيفاءه واستنتج الصيغة التي سمحت له بحساب احتمال أن يكون الرقم الأول رقمًا معينًا (رأينا هذه الصيغة أعلاه).

باختصار، على الرغم من أن قانون بنفورد هو أول من اكتشفه سيمون نيوكومب، إلا أنه سمي بهذا الاسم نسبة إلى فرانك بنفورد لأنه هو الذي تحقق من هذا القانون الإحصائي.

تطبيقات قانون بنفورد

قانون بنفورد هو قانون إحصائي يجد تطبيقات في مجالات مختلفة جدًا. على سبيل المثال، يستخدم قانون بنفورد على نطاق واسع في الاقتصاد، وعلم الأحياء، وحتى السياسة.

في الاقتصاد، غالبًا ما يستخدم قانون بنفورد للكشف عن التلاعب بالبيانات، لأنه إذا كانت مجموعة البيانات لا تتوافق مع قانون بنفورد، فهذا يشير إلى أنه تم التلاعب بالبيانات. ويستخدم هذا القانون، على سبيل المثال، للكشف عن الحالات المحتملة للاحتيال الضريبي.

وتجدر الإشارة إلى أن قانون بنفورد لا يستخدم لإثبات حقيقة الظواهر العشوائية، لأن النتائج متساوية الاحتمال. وبالتالي، لا يمكن استخدام قاعدة بنفورد للتحقق من نتائج اليانصيب.

من ناحية أخرى، في علم الوراثة، يمكن استخدام قانون بنفورد لتحليل الاختلافات في طول الجينوم بين الأنواع المختلفة من الكائنات الحية.

وأخيرًا، جرت أيضًا محاولات للكشف عن تزوير الناخبين من خلال تطبيق قانون بنفورد، على الرغم من أن فائدته في هذه الحالة قد تم التشكيك فيها.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر