ما هو الاختبار الجامع؟ (تعريف وأمثلة)

في الإحصاء، الاختبار الشامل هو أي اختبار إحصائي يختبر أهمية عدة معلمات للنموذج في وقت واحد.

على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا الفرضيات الصفرية والبديلة التالية:

H ₀ : μ ₁ = μ ₂ = μ ₃ = … = μ _k (جميع متوسطات السكان متساوية)

_HA : هناك متوسط سكاني واحد على الأقل يختلف عن المتوسطات الأخرى

هذا مثال على الاختبار الشامل لأن الفرضية الصفرية تحتوي على أكثر من معلمتين.

إذا رفضنا فرضية العدم، فإننا نعلم أن وسطًا سكانيًا واحدًا على الأقل يختلف عن المتوسطات الأخرى، لكننا لا نعرف على وجه التحديد أي متوسط سكاني مختلف.

يظهر الاختبار الشامل في أغلب الأحيان في نماذج ANOVA ونماذج الانحدار الخطي المتعددة .

يقدم هذا البرنامج التعليمي مثالاً للاختبار الشامل في تحليل التباين (ANOVA) أحادي الاتجاه ونموذج الانحدار الخطي المتعدد.

الاختبار الجامع في تحليل التباين الأحادي

لنفترض أن الأستاذ يريد معرفة ما إذا كانت ثلاثة برامج مختلفة للتحضير للاختبار تؤدي إلى درجات اختبار مختلفة. ولاختبار ذلك، قام بتعيين 10 طلاب بشكل عشوائي لاستخدام كل برنامج إعداد للاختبار لمدة شهر، ثم أجرى نفس الاختبار للطلاب في كل مجموعة.

وفيما يلي نتائج الامتحانات لكل مجموعة:

لتحديد ما إذا كان كل برنامج إعداد يؤدي إلى نفس نتائج الامتحان، يقوم بإجراء تحليل التباين (ANOVA) أحادي الاتجاه باستخدام الفرضيات الصفرية والبديلة التالية:

ح ₀ : μ ₁ = μ ₂ = μ ₃

_HA : يؤدي برنامج واحد على الأقل للتحضير للامتحان إلى متوسط درجات مختلف عن البرامج الأخرى.

هذا مثال على الاختبار الشامل لأن الفرضية الصفرية تحتوي على أكثر من معلمتين.

باستخدام حاسبة ANOVA أحادية الاتجاه ، يمكنها إنتاج جدول ANOVA التالي:

لتحديد ما إذا كان يمكنه رفض الفرضية الصفرية أم لا، يحتاج ببساطة إلى إلقاء نظرة على إحصائية اختبار F والقيمة الاحتمالية المقابلة في الجدول.

إحصائيات اختبار F هي 2.358 والقيمة p المقابلة هي 0.11385 . وبما أن هذه القيمة p لا تقل عن 0.05، فإنها تفشل في رفض فرضية العدم.

بمعنى آخر، لا توجد أدلة كافية تشير إلى أن أيًا من برامج الإعداد للاختبار يؤدي إلى اختلاف متوسط درجات الاختبار.

ملحوظة: إذا كانت القيمة p أقل من 0.05، فإن الأستاذ سيرفض فرضية العدم. ويمكن بعد ذلك إجراء اختبار ما بعد مخصص لتحديد البرامج التي أنتجت متوسط درجات الامتحانات المختلفة.

الاختبار الجامع في نموذج الانحدار الخطي المتعدد

لنفترض أن الأستاذ يريد تحديد ما إذا كان عدد الساعات المدروسة وعدد الاختبارات التدريبية التي تم إجراؤها يمكن أن يتنبأ بالدرجة التي سيحصل عليها الطالب في الاختبار.

ولاختبار ذلك، قام بجمع بيانات عن 20 طالبًا وتناسب نموذج الانحدار الخطي المتعدد التالي:

درجة الامتحان = β ₀ + β ₁ (ساعات) + β ₂ (الاختبارات التحضيرية)

يستخدم نموذج الانحدار هذا الفرضيات الفارغة والبديلة التالية:

ح ₀ : β ₁ = β ₂ = 0

HA _A : معامل واحد على الأقل لا يساوي الصفر.

هذا مثال على الاختبار الشامل لأن الفرضية الصفرية تختبر ما إذا كان هناك أكثر من معلمة واحدة تساوي الصفر في المرة الواحدة.

يُظهر مخرج الانحدار التالي في Excel نتائج نموذج الانحدار هذا:

لتحديد ما إذا كان يمكنه رفض الفرضية الصفرية أم لا، يحتاج ببساطة إلى إلقاء نظرة على إحصائية اختبار F والقيمة الاحتمالية المقابلة في الجدول.

إحصائيات اختبار F هي 23.46 والقيمة p المقابلة هي 0.00 . وبما أن هذه القيمة p أقل من 0.05، فيمكن رفض فرضية العدم والتوصل إلى أن واحدًا على الأقل من المعاملات في النموذج لا يساوي الصفر.

ومع ذلك، فإن مجرد رفض الفرضية الصفرية لهذا الاختبار الشامل لا يوضح فعليًا أي المعاملات في النموذج لا تساوي الصفر. ولتحديد ذلك يجب أن ينظر إلى القيم الاحتمالية للمعاملات الفردية في النموذج:

• ساعات القيمة P: 0.00
• قيمة P للامتحانات الإعدادية: 0.52

وهذا يخبره أن الساعات تعد مؤشرًا ذا دلالة إحصائية لدرجة الامتحان، في حين أن الاختبارات التدريبية ليست كذلك.

ملخص

وفيما يلي ملخص لما تعلمناه في هذه المقالة:

• يتم استخدام الاختبار الشامل لاختبار أهمية العديد من معلمات النموذج في وقت واحد.
• إذا رفضنا الفرضية الصفرية للاختبار الشامل، فإننا نعلم أن معلمة واحدة على الأقل في النموذج مهمة.
• إذا رفضنا الفرضية الصفرية لنموذج ANOVA، فيمكننا استخدام الاختبارات اللاحقة لتحديد متوسطات السكان المختلفة بالفعل.
• إذا رفضنا الفرضية الصفرية لنموذج الانحدار الخطي المتعدد، فيمكننا فحص القيم الاحتمالية للمعاملات الفردية في النموذج لتحديد أي منها ذات دلالة إحصائية.

مصادر إضافية

تشرح البرامج التعليمية التالية كيفية إجراء ANOVA أحادي الاتجاه والانحدار الخطي المتعدد في Excel:

كيفية إجراء ANOVA أحادي الاتجاه في Excel
كيفية تنفيذ الانحدار الخطي المتعدد في إكسيل