المتوسط الحسابي

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 6, 2023 إحصائيات 0 Comments

ونوضح هنا ما هو الوسط الحسابي وكيف يتم حسابه. ستجد أمثلة للمتوسط الحسابي وحتى آلة حاسبة للعثور على المتوسط الحسابي لأي عينة إحصائية. وأخيرا، سوف تكون قادرا على معرفة ما هي خصائص هذا النوع من المتوسطات وكيف يتم الحصول على المتوسط الحسابي من خلال البيانات المجمعة في فترات.

ما هو المعنى الحسابي؟

المتوسط الحسابي هو قيمة مركزية مميزة لمجموعة من البيانات الإحصائية. لحساب الوسط الحسابي، يتم جمع كافة القيم وتقسيمها على إجمالي عدد البيانات.

كما يعد الوسط الحسابي أحد المؤشرات الرئيسية المستخدمة لإجراء الدراسة الإحصائية للعينة.

وبالتالي فإن صيغة المتوسط الحسابي هي كما يلي:

رمز الوسط الحسابي هو شريط أفقي فوق الحرف x.

$(\overline{x}).$

يمكنك أيضًا التمييز بين متوسط العينة ومتوسط المجتمع باستخدام رمز المتوسط: حيث يتم التعبير عن متوسط العينة باستخدام الرمز

$\overline{x}$

ومن ناحية أخرى، بالنسبة لمتوسط عدد السكان، نستخدم الحرف اليوناني

$\mu.$

وتجدر الإشارة إلى أن الوسط الحسابي للسكان يعادل القيمة المتوقعة للمتغير الإحصائي.

الوسط الحسابي، ويسمى أيضًا الوسط الحسابي، ليس هو النوع الوحيد من المتوسطات الموجودة، فهناك أيضًا الوسط المرجح، والوسط المربع، والوسط الهندسي، والوسط التوافقي، وغيرها. يمكنك أن ترى كيف يتم حساب كل واحد منهم في محرك البحث على موقعنا.

كيفية حساب الوسط الحسابي

لحساب الوسط الحسابي يجب تنفيذ الخطوات التالية:

إضافة جميع البيانات الإحصائية من العينة.
اقسم المجموع السابق على إجمالي عدد البيانات.
والنتيجة التي تم الحصول عليها هي الوسط الحسابي للعينة الإحصائية.

👉 يمكنك استخدام الآلة الحاسبة أدناه لحساب الوسط الحسابي لأي مجموعة بيانات.

مثال لحساب الوسط الحسابي

بالنظر إلى تعريف الوسط الحسابي، سنرى كيفية الحصول على الوسط الحسابي لمجموعة من البيانات عن طريق حل مثال خطوة بخطوة.

حصل الطالب على الدرجات التالية خلال عام دراسي: في الرياضيات 9، في اللغة 7، في التاريخ 6، في الاقتصاد 8، وفي العلوم 7.5. ما هو المعدل الحسابي لجميع درجاتك؟

لإيجاد المتوسط الحسابي، نحتاج إلى جمع جميع الدرجات ثم قسمتها على إجمالي عدد المواد في المقرر، وهو 5. لذلك، نطبق صيغة المتوسط الحسابي:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{N}$

نستبدل البيانات في الصيغة ونحسب المتوسط الحسابي:

$\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3$

كما ترون، في المتوسط الحسابي، يتم تعيين نفس الوزن لكل قيمة، أي أن كل جزء من البيانات له نفس الوزن داخل الكل.

حاسبة المتوسط الحسابي

أدخل البيانات من أي عينة إحصائية في الآلة الحاسبة التالية لحساب متوسطها الحسابي. يجب فصل البيانات بمسافة وإدخالها باستخدام النقطة كفاصل عشري.

المتوسط الحسابي للبيانات المجمعة

نعني بالبيانات المجمعة أن البيانات منظمة كمجموعات أو فواصل زمنية. يحدث هذا عادةً عندما يكون حجم العينة الإحصائية كبيرًا جدًا.

لذا فإن حساب المتوسط الحسابي يختلف قليلاً عندما يتم تجميع البيانات معًا، على الرغم من أن المفهوم هو نفسه.

لحساب المتوسط الحسابي للبيانات المجمعة في فترات، يجب ضرب درجة كل مجموعة بتكرارها المطلق ثم قسمتها على مجموع جميع التكرارات المطلقة.

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot f_i}{\sum_{i=1}^N f_i} =\frac{x_1\cdot f_1+ x_2\cdot f_2+\dots +x_N\cdot f_N}{N}$

ملحوظة: يتم حساب درجة الفصل للفاصل الزمني عن طريق قسمة مجموع نقاط نهاية الفاصل الزمني على اثنين. على سبيل المثال، ملاحظة الفصل للفاصل الزمني [3،7) ستكون:

$\cfrac{3+7}{2}=5$

لكي تتمكن من رؤية كيفية القيام بذلك، فيما يلي تمرين تم حله حول الوسط الحسابي للبيانات المجمعة في فترات:

نريد إجراء دراسة إحصائية لوزن المجموعة، ولهذا قمنا بإجراء مقابلات مع مجموعة تمثيلية مكونة من 81 شخصًا وحصلنا على البيانات التالية:

حيث x _i هي الدرجة الصفية لكل مجموعة و f _i تكرارها المطلق، أي عدد الأشخاص الذين لديهم وزن في هذه الفترة.

من أجل تحديد الوسط الحسابي، من الضروري إضافة عمود في الجدول التكراري وهو عبارة عن حاصل ضرب ملاحظات الفصل بتكراراتها المطلقة:

تمرين المتوسط الحسابي الذي تم حله للبيانات المجمعة

وبالتالي، لحساب الوسط الحسابي للبيانات المجمعة، ما عليك سوى قسمة مجموع منتجات ملاحظات الفصل حسب تردداتها على إجمالي عدد البيانات:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot f_i}{\sum_{i=1}^N f_i} =\frac{4985}{81}=61,54 \text{ kg}$

خصائص الوسط الحسابي

ويتميز المتوسط الحسابي بالخصائص التالية:

مجموع انحرافات كافة البيانات في التوزيع عن المتوسط يؤدي إلى صفر.

$\sum_{i=1}^N\left(x_i-\overline{x}\right)=0$

إذا أضفنا نفس المقدار إلى جميع البيانات في العينة، فإن متوسط العينة يزداد بهذا المقدار.

ويحدث نفس الشيء مع الضرب، إذا قام أحد بضرب جميع القيم في عينة ما برقم، فسيتم ضرب متوسط العينة بهذا الرقم.

ولا يمكن حساب المتوسط الحسابي إلا في المتغيرات الكمية . وبعبارة أخرى، لا يمكنك أخذ متوسط المتغيرات النوعية.

سيكون الوسط الحسابي دائمًا قيمة بين الحد الأدنى والحد الأقصى للتوزيع.

$\text{min}\{x_1,x_2,...,x_N\}\leq \cfrac{x_1+\dots +x_N}{N}\leq \text{max}\{x_1,x_2,...,x_N\}$

هذا النوع من المتوسطات حساس جدًا للقيم العالية جدًا أو المنخفضة جدًا، مما يتسبب في تغيير القيم المتطرفة بشكل كبير نتيجة المتوسط الحسابي.

يكون المتوسط الحسابي لمجموعة البيانات دائمًا مساويًا أو أكبر من المتوسط الهندسي لنفس مجموعة البيانات.

$\displaystyle\frac{x_1+x_2+\dots+x_N}{N}\geq \sqrt[N]{x_1+x_2+\dots+x_N}$

حساب الوسط الحسابي باستخدام برنامج Excel

يعد حساب المتوسط الحسابي في برنامج Excel أمرًا بسيطًا للغاية، حيث يتعين عليك فقط إدخال البيانات في ورقة واستخدام الدالة AVERAGE .

على سبيل المثال، لتحديد المتوسط الحسابي للبيانات من التمرين الأول الذي تم حله والذي شرحناه، ما عليك سوى نسخ جميع البيانات إلى مستند Excel وكتابة الصيغة التالية في خلية: =AVERAGE(9;7;5; 8;7 ،5) . ستقوم الدالة بإرجاع الوسط الحسابي للبيانات، وهو 7.3.

من الواضح أن العثور على المتوسط الحسابي لأرقام معينة باستخدام برنامج Excel أسرع بكثير من حسابه يدويًا، خاصة عندما يكون حجم العينة كبيرًا جدًا.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر