عدم التماثل والتسطيح

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 4, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو الانحراف والتفرطح في الإحصائيات. لذا، ستجد تعريف هذين المفهومين، وكيفية حساب الانحراف والتفرطح، وما هي صيغهما، بالإضافة إلى آلة حاسبة عبر الإنترنت لحساب الانحراف والتفرطح لأي عينة بيانات.

ما هو الانحراف والتفرطح؟

يعد الانحراف والتفرطح مقياسين إحصائيين يستخدمان لوصف شكل التوزيع دون الحاجة إلى رسمه بيانيًا. وبشكل أكثر تحديدًا، يشير الانحراف إلى درجة التماثل (أو الانحراف) للتوزيع، في حين يشير التفرطح إلى درجة تركيز التوزيع حول متوسطه.

في الإحصائيات، يُطلق على الانحراف والتفرطح أيضًا مقاييس الشكل .

👉 يمكنك استخدام الآلة الحاسبة الموجودة على الإنترنت أدناه لحساب الانحراف والتفرطح لأي مجموعة بيانات.

عدم التماثل

في الإحصاء، الانحراف هو مقياس يشير إلى درجة التماثل (أو عدم التماثل) للتوزيع بالنسبة إلى متوسطه. ببساطة، الانحراف هو معلمة إحصائية تستخدم لتحديد درجة التماثل (أو عدم التماثل) للتوزيع دون الحاجة إلى تمثيله بيانيا.

وبالتالي، فإن التوزيع غير المتماثل هو التوزيع الذي يحتوي على عدد مختلف من القيم على يسار الوسط مقارنة بواحدة على يمينه. من ناحية أخرى، في التوزيع المتماثل يوجد نفس عدد القيم على يسار ويمين الوسط.

وهكذا نميز بين ثلاثة أنواع من عدم التماثل :

عدم التماثل الإيجابي : يحتوي التوزيع على قيم مختلفة على يمين الوسط أكثر من يساره.
التماثل : التوزيع له نفس عدد القيم على يسار المتوسط كما هو الحال على يمين المتوسط.
الانحراف السلبي : يحتوي التوزيع على قيم مختلفة على يسار الوسط أكثر من قيمه على يمينه.

معامل عدم التماثل

معامل الانحراف ، أو مؤشر عدم التماثل ، هو معامل إحصائي يساعد في تحديد عدم تناسق التوزيع. وبالتالي، من خلال حساب معامل عدم التماثل، من الممكن معرفة نوع عدم التماثل الذي يمثله التوزيع دون الحاجة إلى تمثيله بيانياً.

على الرغم من وجود صيغ مختلفة لحساب معامل عدم التماثل، وسنراها جميعًا أدناه، بغض النظر عن الصيغة المستخدمة، فإن تفسير معامل عدم التماثل يتم دائمًا على النحو التالي:

إذا كان معامل التخالف موجبًا، يكون التوزيع منحرفًا موجبًا .
إذا كان معامل عدم التماثل يساوي الصفر، فإن التوزيع متماثل .
إذا كان معامل التخالف سالبًا، يكون التوزيع منحرفًا سالبًا .

معامل عدم التماثل فيشر

معامل انحراف فيشر يساوي اللحظة الثالثة حول المتوسط مقسومًا على الانحراف المعياري للعينة. لذلك، فإن صيغة معامل عدم تناسق فيشر هي:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

وبشكل مكافئ، يمكن استخدام أي من الصيغتين التاليتين لحساب معامل فيشر:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

ذهب

$E$

هو التوقع الرياضي،

$\mu$

المتوسط الحسابي،

$\sigma$

الانحراف المعياري و

$N$

العدد الإجمالي للبيانات.

من ناحية أخرى، إذا تم تجميع البيانات، يمكنك استخدام الصيغة التالية:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

حيث في هذه الحالة

$x_i$

إنها علامة الطبقة و

$f_i$

التردد المطلق للدورة.

معامل عدم التماثل بيرسون

يساوي معامل انحراف بيرسون الفرق بين متوسط العينة والوضع مقسومًا على انحرافه المعياري (أو الانحراف المعياري). وبالتالي فإن صيغة معامل عدم تناسق بيرسون هي كما يلي:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

ذهب

$A_p$

هو معامل بيرسون،

$\mu$

المتوسط الحسابي،

$Mo$

الموضة و

$\sigma$

الانحراف المعياري.

ضع في اعتبارك أنه لا يمكن حساب معامل انحراف بيرسون إلا إذا كان توزيعًا أحادي الواسطة، أي إذا كان هناك وضع واحد فقط في البيانات.

معامل عدم تناسق باولي

معامل انحراف باولي يساوي مجموع الربيع الثالث زائد الربع الأول ناقص ضعف الوسيط مقسومًا على الفرق بين الربع الثالث والأول. وبالتالي فإن صيغة معامل عدم التماثل هذه هي كما يلي:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

ذهب

$Q_1$

$Q_3$

هذه هي على التوالي الربعين الأول والثالث و

$Me$

هو متوسط التوزيع.

تسطيح

يشير التفرطح ، الذي يُطلق عليه أيضًا الانحراف ، إلى مدى تركيز التوزيع حول متوسطه. وبعبارة أخرى، يشير التفرطح إلى ما إذا كان التوزيع حادًا أم مسطحًا. على وجه التحديد، كلما زاد التفرطح في التوزيع، كلما كان أكثر انحدارًا (أو أكثر حدة).

هناك ثلاثة أنواع من الإطراء :

Leptokurtic : التوزيع مدبب للغاية، وهذا يعني أن البيانات تتركز بقوة حول المتوسط. بتعبير أدق، يتم تعريف التوزيعات اللبتوكرتية على أنها توزيعات أكثر حدة من التوزيع الطبيعي.
Mesokurtic : التفرطح للتوزيع يعادل التفرطح للتوزيع الطبيعي. ولذلك لا يعتبر حاداً ولا مفلطحاً.
Platykurtic : التوزيع مسطح جدًا، أي أن التركيز حول المتوسط منخفض. رسميًا، يتم تعريف التوزيعات المسطحة على أنها تلك التوزيعات التي تكون أكثر استواءً من التوزيع الطبيعي.

لاحظ أنه يتم تعريف الأنواع المختلفة من التفرطح من خلال أخذ التفرطح للتوزيع الطبيعي كمرجع.

معامل التفرطح

صيغة معامل التفرطح هي كما يلي:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

صيغة معامل التفرطح للبيانات المجمعة في الجداول التكرارية :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

وأخيرًا، صيغة معامل التفرطح للبيانات المجمعة في فترات :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

ذهب:

$g_2$

هو معامل التفرطح.
$N$

هو العدد الإجمالي للبيانات.
$x_i$

هي نقطة البيانات رقم i في السلسلة.
$\mu$

هو الوسط الحسابي للتوزيع.
$\sigma$

هو الانحراف المعياري (أو الانحراف النموذجي) للتوزيع.
$f_i$

هو التكرار المطلق لمجموعة بيانات تكنولوجيا المعلومات.
$c_i$

هي علامة فئة المجموعة i.

لاحظ أنه في جميع صيغ معامل التفرطح، يتم طرح 3 لأنها قيمة التفرطح للتوزيع الطبيعي. وبالتالي، يتم حساب معامل التفرطح من خلال أخذ التفرطح للتوزيع الطبيعي كمرجع. لهذا السبب يُقال في بعض الأحيان في الإحصائيات أنه يتم حساب التفرطح المفرط .

بمجرد حساب معامل التفرطح، يجب تفسيره على النحو التالي لتحديد نوع التفرطح:

إذا كان معامل التفرطح موجباً فهذا يعني أن التوزيع يكون ليبتوكرتيكي .
إذا كان معامل التفرطح صفراً فهذا يعني أن التوزيع ميزوكرتيك .
إذا كان معامل التفرطح سالباً فهذا يعني أن التوزيع مسطح .

حاسبة التواء والتفرطح

أدخل مجموعة بيانات في الآلة الحاسبة التالية لحساب معامل الانحراف والتفرطح وكذلك تحديد نوع التوزيع. يجب فصل البيانات بمسافة وإدخالها باستخدام النقطة كفاصل عشري.

ما هي استخدامات عدم التماثل والتفرطح؟

أخيرًا، سنرى ما هو استخدام الانحراف والتفرطح في الإحصائيات وكيف يتم تفسير هذين النوعين من المعلمات الإحصائية.

يُستخدم الانحراف والتفرطح لتحديد شكل التوزيع الاحتمالي دون الحاجة إلى تمثيله بيانيًا. أي أنه يتم حساب الانحراف والتفرطح لتحديد نوع التوزيع دون الحاجة إلى رسم بياني له، وهو ما يستغرق عادةً الكثير من الوقت والجهد.

بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام قيم الانحراف والتفرطح لمقارنة منحنى التوزيع بالتوزيع الطبيعي. لأنه إذا كانت متشابهة، فهذا يعني أن التوزيع المراد دراسته يمكن تقريبه إلى التوزيع الطبيعي، وبالتالي يمكن تطبيق العديد من النظريات الإحصائية.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر