الخطأ القياسي للنسبة: الصيغة والمثال

في كثير من الأحيان، نسعى في الإحصائيات إلى تقدير نسبة الأفراد في مجموعة سكانية ذات خاصية معينة.

على سبيل المثال، قد نرغب في تقدير نسبة السكان في مدينة معينة الذين يدعمون قانونًا جديدًا.

بدلًا من سؤال كل مقيم عما إذا كان يؤيد القانون، سنقوم بدلاً من ذلك بجمع عينة عشوائية بسيطة ومعرفة عدد السكان في العينة الذين يدعمون القانون.

ثم نقوم بحساب نسبة العينة (p̂) على النحو التالي:

مثال على صيغة التناسب:

ع = س / ن

ذهب:

• x: عدد الأفراد في العينة الذين يتمتعون بخاصية معينة.
• ن: إجمالي عدد الأفراد في العينة.

سنستخدم بعد ذلك نسبة العينة هذه لتقدير نسبة السكان. على سبيل المثال، إذا كان 47 من سكان العينة البالغ عددهم 300 يؤيدون القانون الجديد، فسيتم حساب نسبة العينة على النحو التالي: 47/300 = 0.157 .

وهذا يعني أن أفضل تقدير لدينا لنسبة السكان الذين يؤيدون القانون هو 0.157 .

ومع ذلك، ليس هناك ما يضمن أن هذا التقدير سيطابق تمامًا نسبة السكان الحقيقية، لذلك عادةً ما نحسب أيضًا الخطأ المعياري لهذه النسبة .

ويتم حساب ذلك على النحو التالي:

الخطأ المعياري لصيغة النسبة:

الخطأ المعياري = √ p̂(1-p̂) / n

على سبيل المثال، إذا كانت p̂ = 0.157 وn = 300، فسنحسب الخطأ المعياري للنسبة على النحو التالي:

الخطأ المعياري للنسبة = √ .157(1-.157) / 300 = 0.021

ثم نستخدم عادةً هذا الخطأ المعياري لحساب فاصل الثقة للنسبة الحقيقية من السكان الذين يدعمون القانون.

ويتم حساب ذلك على النحو التالي:

فاصل الثقة لصيغة نسبة السكان:

فاصل الثقة = p̂ +/- z*√ p̂(1-p̂) / n

بالنظر إلى هذه الصيغة، من السهل أن نرى أنه كلما زاد الخطأ المعياري للنسبة، كلما زاد فاصل الثقة .

لاحظ أن z في الصيغة هي قيمة z التي تتوافق مع خيارات مستوى الثقة الأكثر شيوعًا:

على سبيل المثال، إليك كيفية حساب فترة ثقة تبلغ 95% للنسبة الحقيقية لسكان المدينة الذين يدعمون القانون الجديد:

• 95% CI = p̂ +/- z*√ p̂(1-p̂) / n
• 95% CI = 0.157 +/- 1.96*√ 0.157(1-0.157) / 300
• 95% CI = 0.157 +/- 1.96*(0.021)
• 95% CI = [.10884، .19816]

لذا، يمكننا القول بثقة 95% أن النسبة الحقيقية لسكان المدينة الذين يؤيدون القانون الجديد تتراوح بين 10,884% و19,816%.

مصادر إضافية

الخطأ المعياري في حاسبة التناسب
فاصل الثقة لآلة حاسبة النسبة
ما هي النسبة السكانية؟