4 أمثلة حقيقية للتوزيع الأسي

التوزيع الأسي هو توزيع احتمالي يستخدم لنمذجة الوقت الذي يتعين علينا انتظاره حتى وقوع حدث معين.

إذا كان المتغير العشوائي X يتبع التوزيع الأسي، فيمكن كتابة دالة الكثافة التراكمية لـ X :

F (س؛ ) = 1 – ه – ^س

ذهب:

• : معلمة المعدل (محسوبة على أنها  = 1/μ)
• e: ثابت يساوي تقريبًا 2.718

في هذه المقالة، نشارك 5 أمثلة للتوزيع الأسي في الحياة الواقعية.

مثال 1: الوقت بين ثوران السخان

يمكن تحديد عدد الدقائق بين ثورانات نبع ماء حار معين من خلال التوزيع الأسي.

على سبيل المثال، لنفترض أن متوسط عدد الدقائق بين ثوران نبع ماء حار معين هو 40 دقيقة. إذا اندلع نبع ماء حار، ما هو احتمال أن ننتظر أقل من 50 دقيقة للثوران التالي؟

لحل هذه المشكلة، نحتاج أولاً إلى حساب معامل المعدل:

• lect = 1/μ
• lect = 1/40
• φ = 0.025

يمكننا التعويض بـ lect = 0.025 و x = 50 في صيغة CDF:

• P(X ≥ x) = 1 – ه – ^lectx
• ف(س ≥ 50) = 1 – ه ^-0.025(50)
• ف(س ≥ 50) = 0.7135

احتمال أن ننتظر أقل من 50 دقيقة للثوران التالي هو 0.7135 .

مثال 2: الوقت بين العملاء

يمكن تحديد عدد الدقائق بين العملاء الذين يدخلون إلى متجر معين من خلال التوزيع الأسي.

على سبيل المثال، لنفترض أن عميلاً جديدًا يدخل إلى المتجر كل دقيقتين في المتوسط. بعد وصول العميل، حدد احتمالية وصول عميل جديد في أقل من دقيقة.

لحل هذه المشكلة، يمكننا أن نبدأ بمعرفة أن متوسط الوقت بين العملاء هو دقيقتين. وبالتالي يمكن حساب المعدل على النحو التالي:

• lect = 1/μ
• lect = 1/2
• ν = 0.5

يمكننا التعويض بـ 0 = 0.5 و x = 1 في صيغة CDF:

• P(X ≥ x) = 1 – ه – ^lectx
• ف(س ≥ 1) = 1 – ه ^-0.5(1)
• ف(س ≥ 1) = 0.3935

احتمال أن ننتظر أقل من دقيقة حتى يصل العميل التالي هو 0.3935 .

مثال 3: الوقت بين الزلازل  

يمكن نمذجة الوقت بين حدوث الزلازل باستخدام التوزيع الأسي.

على سبيل المثال، لنفترض أن زلزالًا يحدث في المتوسط كل 400 يوم في منطقة معينة. بعد وقوع الزلزال، أوجد احتمال مرور أكثر من 500 يوم قبل وقوع الزلزال التالي.

ولحل هذه المشكلة نبدأ بمعرفة أن متوسط الوقت بين الزلازل هو 400 يوم. وبالتالي يمكن حساب المعدل على النحو التالي:

• lect = 1/μ
• lect = 1/400
• φ = 0.0025

يمكننا التعويض بـ lect = 0.0025 و x = 500 في صيغة CDF:

• P(X ≥ x) = 1 – ه – ^lectx
• ف(X ≥ 1) = 1 – ه ^-0.0025(500)
• ف(س ≥ 1) = 0.7135

احتمال أن ننتظر أقل من 500 يوم لحدوث الزلزال القادم هو 0.7135.

لذا فإن احتمال أن ننتظر أكثر من 500 يوم لحدوث الزلزال القادم هو 1 – 0.7135 = 0.2865 .

مثال 4: الوقت بين المكالمات

يمكن نمذجة الوقت بين مكالمات العملاء في شركات مختلفة باستخدام التوزيع الأسي.

على سبيل المثال، لنفترض أن البنك يتلقى مكالمة جديدة كل 10 دقائق في المتوسط. بعد أن يتصل العميل، حدد احتمالية اتصال العميل الجديد خلال 10 إلى 15 دقيقة.

لحل هذه المشكلة نبدأ بمعرفة أن متوسط الوقت بين المكالمات هو 10 دقائق. وبالتالي يمكن حساب المعدل على النحو التالي:

• lect = 1/μ
• lect = 1/10
• φ = 0.1

يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب احتمالية اتصال العميل الجديد خلال 10-15 دقيقة:

• ف(10 < X ≥ 15) = (1 – ه ^-0.1(15) ) – (1 – ه ^-0.1(10) )
• ف(10 < X ≥ 15) = 0.7769 – 0.6321
• ف(10 < X ≥ 15) = 0.1448

احتمالية اتصال عميل جديد خلال 10-15 دقيقة. هو 0.1448 .

مصادر إضافية

توفر المقالات التالية أمثلة لكيفية استخدام التوزيعات الاحتمالية الأخرى في العالم الحقيقي:

6 أمثلة ملموسة للتوزيع الطبيعي
5 أمثلة ملموسة للتوزيع ذي الحدين
5 أمثلة ملموسة لتوزيع بواسون
5 أمثلة ملموسة للتوزيع الهندسي
5 أمثلة ملموسة للتوزيع الموحد