التوزيع الهندسي

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 3, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو التوزيع الهندسي في الإحصائيات. ولذلك ستجد تعريف التوزيع الهندسي وأمثلة على التوزيعات الهندسية وخصائص هذا النوع من التوزيع الاحتمالي. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك حساب أي احتمال للتوزيع الهندسي باستخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت.

ما هو التوزيع الهندسي؟

التوزيع الهندسي هو توزيع احتمالي يحدد عدد تجارب برنولي المطلوبة للحصول على أول نتيجة ناجحة.

أي أن عمليات نماذج التوزيع الهندسي يتم فيها تكرار تجارب برنولي حتى يحصل أحدها على نتيجة إيجابية.

تذكر أن اختبار برنولي هو تجربة لها نتيجتان محتملتان: “النجاح” و”الفشل”. لذا، إذا كان احتمال “النجاح” هو p ، فإن احتمال “الفشل” هو q=1-p .

وبالتالي فإن التوزيع الهندسي يعتمد على المعلمة p ، وهي احتمالية نجاح جميع التجارب التي تم إجراؤها. علاوة على ذلك، فإن الاحتمال p هو نفسه في جميع التجارب.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

وبالمثل، يمكن أيضًا تعريف التوزيع الهندسي على أنه عدد حالات الفشل قبل النجاح الأول. في هذه الحالة، يمكن أن يأخذ التوزيع القيمة x=0 وتختلف صيغته قليلاً. لكن الأكثر شيوعاً هو العودة إلى تعريف التوزيع الهندسي الموضح في بداية هذا القسم.

أمثلة التوزيع الهندسي

بمجرد أن رأينا تعريف التوزيع الهندسي، يعرض هذا القسم عدة أمثلة للمتغيرات العشوائية التي تتبع هذا النوع من التوزيع.

أمثلة على التوزيع الهندسي:

عدد رميات العملة التي تم إجراؤها حتى يتم الحصول على الرؤوس.
عدد السيارات التي تمر على الطريق حتى ترى سيارة حمراء.
عدد المرات التي يجب على الشخص أداء اختبار القيادة حتى يجتازه.
عدد لفات النرد التي تم رميها حتى يتم رمي الرقم 6.
عدد الرميات الحرة التي يجب تنفيذها حتى يتم تسجيل الهدف.

صيغة التوزيع الهندسي

في التوزيع الهندسي، احتمال إجراء تجارب x للحصول على نتيجة إيجابية هو حاصل ضرب المعلمة p مرات (1-p) أس x-1 .

ولذلك، فإن صيغة حساب احتمال التوزيع الهندسي هي:

👉 يمكنك استخدام الآلة الحاسبة أدناه لحساب احتمال وجود متغير يتبع التوزيع الهندسي.

من ناحية أخرى، فإن صيغة دالة التوزيع التي تتيح حساب الاحتمال التراكمي للتوزيع الهندسي هي كما يلي:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

حل تمرين التوزيع الهندسي

ما احتمال الحصول على الرقم 5 عند رمية النرد الثالثة؟

التوزيع الاحتمالي لهذه المشكلة هو توزيع هندسي، لأنه يحدد عدد الرميات اللازمة (ثلاث) للحصول على نتيجة ناجحة (الرقم 5).

لذلك يجب علينا أولاً أن نحسب احتمالية نجاح كل عملية إطلاق. في هذه الحالة، هناك نتيجة إيجابية واحدة فقط من أصل ستة نتائج محتملة، وبالتالي فإن الاحتمال p هو:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

ثم نطبق صيغة التوزيع الهندسي لتحديد الاحتمال الذي يطلبه منا التمرين:

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

خصائص التوزيع الهندسي

التوزيع الهندسي يلبي الخصائص التالية:

التوزيع الهندسي له معامل مميز، p ، وهو احتمال نجاح كل تجربة من التجارب التي تم تنفيذها.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...0 <ul><li> The mean of the general distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...><li> The mean of the geometric distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...ne of the geometric distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the geometric distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...geometric tion is equal to one divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...st equals one divided by probability
Please use \mathaccent for accents in math mode.

إن تباين التوزيع الهندسي يعادل فرق 1 ناقص p على مربع p .

$Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

صيغة الدالة الجماعية للتوزيع الهندسي هي:

$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p$

وبالمثل، فإن صيغة دالة الاحتمال التراكمي للتوزيع الهندسي هي:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

التوزيع الهندسي هو حالة خاصة من التوزيع السالب ذو الحدين. بتعبير أدق، هذا يعادل التوزيع السلبي ذي الحدين مع المعلمة r=1 .

$X\sim \text{BN}(1,p) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ انظر: التوزيع السلبي ذو الحدين
➤ انظر: التوزيع ذو الحدين

حاسبة التوزيع الهندسي

أدخل قيمة المعلمة p وقيمة x في الآلة الحاسبة التالية لحساب الاحتمال. تحتاج إلى تحديد الاحتمالية التي تريد حسابها وإدخال الأرقام باستخدام النقطة كفاصل عشري، على سبيل المثال 0.1667.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر