العلاقة بين حجم العينة وهامش الخطأ

في كثير من الأحيان، نريد في الإحصائيات تقدير قيمة بعض المعلمات السكانية ، مثل نسبة السكان أو متوسط عدد السكان .

ولتقدير هذه القيم، نقوم عادة بجمع عينة عشوائية بسيطة وحساب نسبة العينة أو متوسط العينة.

نقوم بعد ذلك ببناء فاصل ثقة لالتقاط حالة عدم اليقين لدينا حول هذه التقديرات.

نستخدم الصيغة التالية لحساب فاصل الثقة لنسبة السكان:

فاصل الثقة = p ± z*√ p(1-p) / n

ذهب:

• ع: نسبة العينة
• z: قيمة z المختارة
• ن: حجم العينة

ونستخدم الصيغة التالية لحساب فاصل الثقة لمتوسط المحتوى:

فاصل الثقة = x̄ ± z*(s/√ n )

ذهب:

• x̄: متوسط العينة
• z: قيمة z المختارة
• s : عينة الانحراف المعياري
• ن: حجم العينة

في كلا الصيغتين، هناك علاقة عكسية بين حجم العينة وهامش الخطأ.

كلما زاد حجم العينة قل هامش الخطأ. وعلى العكس من ذلك، كلما كان حجم العينة أصغر، كلما زاد هامش الخطأ.

تحقق من المثالين التاليين لفهم هذا بشكل أفضل.

مثال 1: حجم العينة وهامش الخطأ لنسبة السكان

نستخدم الصيغة التالية لحساب فاصل الثقة لنسبة السكان:

فاصل الثقة = p ± z*√ p(1-p) / n

الجزء باللون الأحمر يسمى هامش الخطأ :

فاصل الثقة = p ± z*√ p(1-p) / n

لاحظ أنه ضمن هامش الخطأ نقسم على n (حجم العينة).

لذلك عندما يكون حجم العينة كبيرا، نقسمه على عدد كبير، مما يقلل هامش الخطأ الإجمالي. وهذا يؤدي إلى فترة ثقة أضيق.

على سبيل المثال، لنفترض أننا قمنا بجمع عينة عشوائية بسيطة من البيانات بالمعلومات التالية:

• ص: 0.6
• ن: 25

فيما يلي كيفية حساب فاصل ثقة 95% لنسبة السكان:

• فاصل الثقة = p ± z*√ p(1-p) / n
• فاصل الثقة = 0.6 ± 1.96*√ 0.6(1-0.6) / 25
• فاصل الثقة = 0.6 ± 0.192
• فاصل الثقة = [.408، .792]

الآن فكر فيما إذا كنا بدلاً من ذلك استخدمنا حجم عينة مكون من 200. وإليك كيفية حساب فاصل الثقة 95% لنسبة السكان:

• فاصل الثقة = p ± z*√ p(1-p) / n
• فاصل الثقة = 0.6 ± 1.96*√ 0.6(1-0.6) / 200
• فاصل الثقة = 0.6 ± 0.068
• فاصل الثقة = [.532، .668]

لاحظ أنه بمجرد زيادة حجم العينة، تمكنا من تقليل هامش الخطأ وإنتاج فاصل ثقة أضيق بكثير.

مثال 2: حجم العينة وهامش الخطأ لمتوسط المجتمع

نستخدم الصيغة التالية لحساب فاصل الثقة لمتوسط المحتوى:

فاصل الثقة = x̄ ± z*(s/√ n )

الجزء باللون الأحمر يسمى هامش الخطأ :

فاصل الثقة = x̄ ± z*(s/√ n )

لاحظ أنه ضمن هامش الخطأ نقسم على n (حجم العينة).

لذلك عندما يكون حجم العينة كبيرا، نقسمه على عدد كبير، مما يقلل هامش الخطأ الإجمالي. وهذا يؤدي إلى فترة ثقة أضيق.

على سبيل المثال، لنفترض أننا قمنا بجمع عينة عشوائية بسيطة من البيانات بالمعلومات التالية:

• ×: 15
• ق : 4
• ن: 25

فيما يلي كيفية حساب فاصل ثقة 95% لمتوسط المحتوى:

• فاصل الثقة = x̄ ± z*(s/√ n )
• فاصل الثقة = 15 ± 1.96*(4/√ 25 )
• فاصل الثقة = 15 ± 1.568
• فاصل الثقة = [13.432، 16.568]

الآن فكر فيما إذا كنا بدلاً من ذلك استخدمنا حجم عينة مكون من 200. إليك كيفية حساب فاصل الثقة 95% لمتوسط المجتمع:

• فاصل الثقة = x̄ ± z*(s/√ n )
• فاصل الثقة = 15 ± 1.96*(4/√ 200 )
• فاصل الثقة = 15 ± 0.554
• فاصل الثقة = [14.446، 15.554]

لاحظ أنه بمجرد زيادة حجم العينة، تمكنا من تقليل هامش الخطأ وإنتاج فاصل ثقة أضيق.

مصادر إضافية

توفر البرامج التعليمية التالية معلومات إضافية حول فترات الثقة لنسبة ما:

• مقدمة لفترات الثقة لنسبة
• فاصل الثقة لآلة حاسبة النسبة

توفر البرامج التعليمية التالية معلومات إضافية حول فترات الثقة للمتوسط:

• مقدمة لفترات الثقة للمتوسط
• فاصل الثقة للآلة الحاسبة المتوسطة