كيفية حساب مجموع المربعات في anova (مع مثال)
في الإحصاء، يتم استخدام تحليل التباين (ANOVA) أحادي الاتجاه لمقارنة متوسطات ثلاث مجموعات مستقلة أو أكثر لتحديد ما إذا كان هناك فرق ذو دلالة إحصائية بين متوسطات المجموعة السكانية المقابلة.
عندما تقوم بإجراء ANOVA أحادي الاتجاه، فسوف تقوم دائمًا بحساب مجموع قيم المربعات الثلاثة:
1. انحدار مجموع المربعات (SSR)
- وهو مجموع مربعات الفروق بين متوسط كل مجموعة والمعدل العام .
2. مجموع خطأ المربعات (SSE)
- هذا هو مجموع مربعات الاختلافات بين كل ملاحظة فردية ومتوسط المجموعة لتلك الملاحظة.
3. مجموع المربعات الإجمالية (SST)
- هذا هو مجموع مربعات الاختلافات بين كل ملاحظة فردية والمتوسط العام.
يتم وضع كل من هذه القيم الثلاث في جدول ANOVA النهائي، والذي نستخدمه لتحديد ما إذا كان هناك فرق ذو دلالة إحصائية بين متوسطات المجموعة أم لا.
يوضح المثال التالي كيفية حساب كل من مجموع قيم المربعات لتحليل التباين أحادي الاتجاه عمليًا.
مثال: كيفية حساب مجموع المربعات في ANOVA
لنفترض أننا نريد أن نعرف ما إذا كانت ثلاثة برامج مختلفة للتحضير للاختبار تؤدي إلى متوسط درجات مختلفة في اختبار معين أم لا. ولاختبار ذلك، قمنا بتجنيد 30 طالبًا للمشاركة في إحدى الدراسات وتقسيمهم إلى ثلاث مجموعات.
يتم تعيين الطلاب في كل مجموعة عشوائيًا لاستخدام أحد برامج التحضير للاختبار الثلاثة للأسابيع الثلاثة التالية للتحضير للامتحان. وفي نهاية الأسابيع الثلاثة، يؤدي جميع الطلاب نفس الاختبار.
وفيما يلي نتائج الامتحانات لكل مجموعة:
توضح الخطوات التالية كيفية حساب مجموع قيم المربعات لهذا ANOVA أحادي الاتجاه.
الخطوة الأولى: حساب متوسط المجموعة والمعدل العام.
أولاً، سنقوم بحساب متوسط المجموعات الثلاث بالإضافة إلى المتوسط الإجمالي (أو “الإجمالي”):
الخطوة 2: حساب SSR.
بعد ذلك، سوف نقوم بحساب مجموع انحدار المربعات (SSR) باستخدام الصيغة التالية:
نΣ(X ي – X ..) 2
ذهب:
- n : حجم العينة للمجموعة j
- Σ : رمز يوناني معناه “المجموع”
- X j : متوسط المجموعة j
- عاشراً : المتوسط العام
في مثالنا، نحسب أن SSR = 10(83.4-85.8) 2 + 10(89.3-85.8) 2 + 10(84.7-85.8) 2 = 192.2
الخطوة 3: حساب SES.
بعد ذلك، سوف نقوم بحساب مجموع مربعات الخطأ (SSE) باستخدام الصيغة التالية:
Σ(X ي – X ي ) 2
ذهب:
- Σ : رمز يوناني معناه “المجموع”
- X ij : الملاحظة رقم 1 للمجموعة j
- X j : متوسط المجموعة j
في مثالنا، نحسب SSE على النحو التالي:
المجموعة 1: (85-83.4) 2 + (86-83.4) 2 + (88-83.4) 2+ (75-83.4) 2+ (78-83.4) 2+ (94-83.4) 2+ (98-83.4) 2+ (79-83.4) 2+ (71-83.4) 2+ (80-83.4) 2 = 640.4
المجموعة 2: (91-89.3) 2 + (92-89.3) 2 + (93-89.3) 2+ (85-89.3) 2+ (87-89.3) 2+ (84-89.3) 2+ (82-89.3) 2+ (88-89.3) 2+ (95-89.3) 2+ (96-89.3) 2 = 208.1
المجموعة 3: (79-84.7) 2 + (78-84.7) 2 + (88-84.7) 2+ (94-84.7) 2+ (92-84.7) 2+ (85-84.7) 2+ (83-84.7) 2+ (85-84.7) 2+ (82-84.7) 2+ (81-84.7) 2 = 252.1
ESS: 640.4 + 208.1 + 252.1 = 1100.6
الخطوة 4: حساب SST.
بعد ذلك، سوف نقوم بحساب مجموع المربعات (SST) باستخدام الصيغة التالية:
طائرة أسرع من الصوت = SSR + SSE
في مثالنا، درجة حرارة سطح البحر = 192.2 + 1100.6 = 1292.8
بمجرد أن نحسب قيم SSR وSSE وSST، سيتم وضع كل من هذه القيم أخيرًا في جدول ANOVA:
| مصدر | مجموع المربعات (SS) | df | متوسط المربعات (MS) | قيمة F | القيمة p |
|---|---|---|---|---|---|
| تراجع | 192.2 | 2 | 96.1 | 2,358 | 0.1138 |
| خطأ | 1100.6 | 27 | 40.8 | ||
| مجموع | 1292.8 | 29 |
وإليك كيفية حساب الأرقام المختلفة في الجدول:
- مدافع الانحدار: k-1 = 3-1 = 2
- الخطأ df: nk = 30-3 = 27
- إجمالي df: n-1 = 30-1 = 29
- علاج SEP: علاج SST/df = 192.2 / 2 = 96.1
- خطأ MS: خطأ SSE / df = 1100.6 / 27 = 40.8
- قيمة F: معالجة MS / خطأ MS = 96.1 / 40.8 = 2.358
- القيمة p : القيمة p التي تقابل القيمة F.
ملحوظة: n = العدد الإجمالي للملاحظات، k = عدد المجموعات
راجع هذا البرنامج التعليمي لمعرفة كيفية تفسير قيمة F وقيمة p في جدول ANOVA.
About Author
دكتور بنيامين أندرسون
مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر