اختبار مربع كاي

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 2, 2023 إحصائيات 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو اختبار مربع كاي في الإحصاء وفيم يستخدم. سوف تكتشف أيضًا كيفية إجراء اختبار مربع كاي، بالإضافة إلى تمرين تم حله خطوة بخطوة.

ما هو اختبار مربع تشي؟

اختبار مربع كاي هو اختبار إحصائي يستخدم لتحديد ما إذا كان هناك فرق ذو دلالة إحصائية بين التكرار المتوقع والتكرار المرصود.

منطقيًا، تتبع إحصائية اختبار مربع كاي توزيع مربع كاي . ولذلك يجب مقارنة قيمة إحصائية الاختبار بقيمة معينة لتوزيع مربع كاي. أدناه سنرى كيف يتم إجراء اختبار مربع كاي.

يُعرف هذا النوع من الاختبارات الإحصائية أيضًا باسم اختبار بيرسون لمربع كاي ويتم تمثيله أحيانًا برمز توزيع مربع كاي: اختبار χ² .

صيغة اختبار مربع كاي

إحصائية اختبار مربع كاي تساوي مجموع مربعات الفروق بين القيم المرصودة والقيم المتوقعة مقسومة على القيم المتوقعة.

وبالتالي فإن صيغة اختبار مربع كاي هي:

$\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

ذهب:

$\chi^2$

هي إحصائية اختبار مربع كاي، والتي تتبع توزيع مربع كاي مع

$k-1$

درجات الحرية.
$k$

هو حجم عينة البيانات.
$O_i$

هي القيمة المرصودة للبيانات أنا.
$E_i$

هي القيمة المتوقعة للبيانات ط.

الفرضية الصفرية لاختبار الفرضية باستخدام اختبار مربع كاي هي أن القيم المرصودة تعادل القيم المتوقعة. ومن ناحية أخرى فإن الفرضية البديلة للاختبار هي أن إحدى القيم المرصودة تختلف عن قيمتها المتوقعة.

$\begin{cases}H_0:O_i=E_i \quad \forall i\\[2ex]H_1:\exists \ O_i\neq E_i \end{cases}$

لذلك، نظرا لمستوى من الأهمية

$\alpha$

يجب مقارنة إحصائية الاختبار المحسوبة بقيمة الاختبار الحرجة لتحديد ما إذا كان سيتم رفض فرضية العدم أو الفرضية البديلة:

إذا كانت إحصائية الاختبار أقل من القيمة الحرجة
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

، تم رفض الفرضية البديلة (وقبول الفرضية الصفرية).
إذا كانت إحصائية الاختبار أكبر من القيمة الحرجة
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

، تم رفض الفرضية الصفرية (وقبول الفرضية البديلة).

$\begin{array}{l}\text{Si } \chi^2<\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_1\\[3ex]\text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”70″ width=”243″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <h2 class=$ مثال على اختبار مربع كاي

بمجرد أن رأينا تعريف اختبار مربع كاي وما هي صيغته، يتم عرض مثال تم حله خطوة بخطوة أدناه حتى تتمكن من رؤية كيفية إجراء هذا النوع من الاختبارات الإحصائية.

يقول صاحب متجر إن 50% من مبيعاته هي للمنتج (أ)، و35% من مبيعاته هي للمنتج (ب)، و15% من مبيعاته هي للمنتج (ج). ومع ذلك، فإن الوحدات المباعة من كل منتج هي تلك التي يتم عرضها في جدول الطوارئ التالي . تحليل ما إذا كانت البيانات النظرية للمالك تختلف إحصائيًا عن البيانات الفعلية التي تم جمعها.

منتج	المبيعات المرصودة ( _Oi )
المنتج أ	453
المنتج ب	268
المنتج ج	79
مجموع	800

أولا، نحتاج إلى حساب القيم المتوقعة من قبل صاحب المتجر. وللقيام بذلك نقوم بضرب نسبة المبيعات المتوقعة لكل منتج في عدد إجمالي المبيعات المحققة:

$\begin{array}{c}E_A=800\cdot 0,5=400\\[2ex]E_B=800\cdot 0,35=280\\[2ex]E_A=800\cdot 0,15=120\end{array}$

ولذلك فإن جدول التوزيع التكراري للمشكلة هو كما يلي:

منتج	المبيعات المرصودة ( _Oi )	المبيعات المتوقعة ( _Ei )
المنتج أ	453	400
المنتج ب	268	280
المنتج ج	79	120
مجموع	800	800

الآن بعد أن قمنا بحساب جميع القيم، نطبق صيغة اختبار مربع كاي لحساب إحصائية الاختبار:

$\begin{array}{c}\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\[6ex]\chi^2=\cfrac{(453-400)^2}{400}+\cfrac{(268-280)^2}{280}+\cfrac{(79-120)^2}{120}\\[6ex]\chi^2=7,02+0,51+14,00\\[6ex]\chi^2=21,53\end{array}$

بمجرد حساب قيمة إحصائية الاختبار، نستخدم جدول توزيع مربع كاي للعثور على القيمة الحرجة للاختبار. توزيع مربع كاي

$k-1=3-1=2$

درجات الحرية، لذلك إذا اخترنا مستوى الأهمية

$\alpha=0,05$

القيمة الحرجة للاختبار هي كما يلي:

$\begin{array}{c}\chi^2_{1-\alpha|k-1}=\ \color{orange}\bm{?}\color{black}\\[4ex]\chi^2_{0,95|2}=5,991\end{array}$

وبالتالي فإن إحصائية الاختبار (21.53) أكبر من قيمة الاختبار الحرجة (5.991)، وبالتالي يتم رفض الفرضية الصفرية وقبول الفرضية البديلة. وهذا يعني أن البيانات مختلفة تمامًا وبالتالي توقع صاحب المتجر مبيعات مختلفة عما تم تحقيقه بالفعل.

$21,53>5,991 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”354″ style=”vertical-align: -4px;”></p> </p> <h2 class=$ تفسير اختبار مربع كاي

لا يمكن تفسير اختبار مربع كاي فقط باستخدام نتيجة الاختبار التي تم الحصول عليها، ولكن يجب مقارنتها بالقيمة الحرجة للاختبار.

منطقيا، كلما كانت قيمة إحصائية الاختبار المحسوبة أصغر، كلما كانت البيانات المرصودة أكثر تشابها مع البيانات المتوقعة. لذلك، إذا كانت نتيجة اختبار مربع كاي 0، فهذا يعني أن القيم المرصودة والقيم المتوقعة هي نفسها تمامًا. ومن ناحية أخرى، كلما كانت نتيجة الاختبار أكبر، فهذا يعني أنه كلما زادت اختلاف القيم المرصودة عن القيم المتوقعة.

ومع ذلك، لتحديد ما إذا كانت مجموعتي البيانات مختلفة أو متساوية إحصائيًا، يجب على المرء مقارنة قيمة الاختبار المحسوبة مع قيمة الاختبار الحرج، من أجل رفض فرضية العدم أو الفرضية البديلة للتباين. إذا كانت إحصائية الاختبار أقل من القيمة الحرجة للتوزيع، يتم رفض الفرضية البديلة. ومن ناحية أخرى، إذا كانت إحصائية الاختبار أكبر من القيمة الحرجة للتوزيع، يتم رفض الفرضية الصفرية.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر

ما هو اختبار مربع تشي؟

صيغة اختبار مربع كاي

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

Add a Comment