نظرية الاحتمالية الكلية

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 1, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هي نظرية الاحتمالية الكلية وفيم يتم استخدامها في الاحتمالات والإحصاء. لذا، ستجد صيغة نظرية الاحتمال الكلي، والتدريبات المحلولة، ومتى يتم استخدام نظرية الاحتمال الكلي.

ما هي نظرية الاحتمالية الكلية؟

في نظرية الاحتمالات، نظرية الاحتمالية الإجمالية هي قانون يجعل من الممكن حساب احتمالية حدث ليس جزءًا من فضاء العينة من الاحتمالات الشرطية لجميع الأحداث في فضاء العينة المذكور.

وبالتالي، يتم استخدام نظرية الاحتمالية الإجمالية لحساب احتمالية حدث معين بناءً على معلومات جزئية حول هذا الحدث. في بعض الأحيان لا يمكننا تحديد احتمالية حدث ما من خلال تطبيق قاعدة لابلاس مباشرة لأننا لا نملك جميع المعلومات اللازمة. لكن إذا كنا نعرف بيانات حول هذا الحدث مقارنة بأحداث أخرى، فعادةً ما تكون نظرية الاحتمال الإجمالي مفيدة.

باختصار، يتم استخدام نظرية الاحتمالية الإجمالية عندما نريد حساب احتمالية حدث ما ولكن لدينا معلومات عنه فقط في ظل ظروف معينة. على سبيل المثال، تتضمن بعض تطبيقات هذه النظرية تجارب مع حالات متعددة، ونظرية الطابور، وتحليل البقاء.

➤ انظر: قاعدة لابلاس

صيغة لنظرية الاحتمال الكلي

تقول نظرية الاحتمال الإجمالي أنه بالنظر إلى مجموعة الأحداث {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } التي تشكل قسما على فضاء العينة، فإن احتمال الحدث B يساوي مجموع حاصل ضرب احتمال كل منهما الحدث P(A _i ) بالاحتمال الشرطي P(B|A _i ).

ولذلك، فإن صيغة نظرية الاحتمالية الإجمالية هي:

ذهب:

$P(B)$

هو احتمال وقوع الحدث B.
$P(B|A_i)$

هو الاحتمال الشرطي للحدث B نظرا للحدث A _i .
$P(A_i)$

هو احتمال وقوع الحدث A _i .

ضع في اعتبارك أنه من المحتمل أن يتم تعريف قسم من مساحة العينة على أنه مجموعة من الأحداث غير المتوافقة التي يشكل اتحادها مساحة العينة.

➤ انظر: مساحة العينة

مثال ملموس لنظرية الاحتمال الكلي

بعد الاطلاع على تعريف نظرية الاحتمالية الكلية وما هي صيغتها، سنرى تمرينًا محلولاً حول كيفية حساب الاحتمال باستخدام نظرية الاحتمالية الكلية لفهم معناها بشكل أفضل.

يبيع متجر إلكترونيات ثلاث علامات تجارية لأجهزة التلفزيون: X وY وZ. وتشير التقديرات إلى أن 20% من المبيعات عبارة عن أجهزة تلفزيون ذات علامات تجارية، و% من العلامات التجارية المعيبة، و4% من أجهزة التلفزيون ذات العلامات التجارية Z. أجهزة التلفزيون معيبة. ما مدى احتمالية شراء جهاز تلفزيون معيب؟

يمنحنا بيان المشكلة احتمالات قيام العميل بشراء كل علامة تجارية من أجهزة التلفزيون:

الحدث أ ₁ : يشتري العميل _ماركة تلفزيون
الحدث أ ₂ : يشتري العميل جهاز تلفزيون من العلامة التجارية Y → P(A ₂ )=0.50
الحدث أ ₃ : يشتري العميل ماركة تلفزيونية Z → P(A ₃ )=0.30

بالإضافة إلى ذلك، يوفر لنا بيان التمرين أيضًا احتمالية وجود عيب في جهاز تلفزيون من كل علامة تجارية:

الحدث ب: التلفزيون معيب

B|A ₁ : نظرًا لعلامة تجارية X للتلفزيون، فإن التليفزيون معيب → P(B|A ₁ )=0.05
B|A ₂ : بالنظر إلى العلامة التجارية للتلفزيون Y، فإن التلفزيون معيب → P(B|A ₂ )=0.03
B|A ₃ : بالنظر إلى تلفزيون من العلامة التجارية Z، يكون التلفزيون معيبًا → P(B|A ₃ )=0.04

وبالتالي فإن شجرة احتمالية المشكلة هي كما يلي:

لذلك، لحساب احتمال شراء جهاز تلفزيون معيب، نحتاج إلى استخدام صيغة قاعدة الاحتمال الإجمالي:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

في حالتنا، يتكون فضاء العينة من ثلاثة أحداث (A ₁ و A ₂ و A ₃ )، وبالتالي فإن صيغة نظرية الاحتمالية الكلية هي كما يلي:

$\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)$

لذلك يكفي التعويض عن احتمالات التعبير السابق لإيجاد احتمال شراء جهاز تلفزيون معيب:

$\begin{aligned} P(B)&=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)\\[2ex]&=0,05\cdot 0,20+0,03\cdot 0,50+0,04\cdot 0,30\\[2ex]&=0,037\end{aligned}$

في الختام، هناك احتمال بنسبة 3.7% أن نشتري جهاز تلفزيون وهو معيب.