قانون الأعداد الكبيرة

نوضح في هذا المقال ما هو قانون الأعداد الكبيرة وفيم يستخدم في الاحتمالات والإحصاء. كما ستتمكن من رؤية مثال لتطبيق قانون الأعداد الكبيرة، بالإضافة إلى ما هي العلاقة بين هذا القانون ونظرية النهاية المركزية.

ما هو قانون الأعداد الكبيرة؟

في نظرية الاحتمالات، قانون الأعداد الكبيرة هو القاعدة التي تصف نتيجة القيام بعدد كبير من المرات. وبشكل أكثر تحديدًا، ينص قانون الأعداد الكبيرة على أن متوسط النتائج التي تم الحصول عليها من عدد كبير من التجارب سيكون قريبًا من القيمة المتوقعة.

علاوة على ذلك، ووفقًا لقانون الأعداد الكبيرة، كلما زاد عدد التجارب التي نقوم بها، كلما اقتربت النتائج من القيمة المتوقعة.

على سبيل المثال، إذا قمنا بقلب عملة معدنية خمس مرات، فيمكننا الحصول على صورة مرة واحدة فقط (20٪). ومع ذلك، إذا تم رمي العملة عدة مرات (أكثر من 1000 رمية)، فإن ما يقرب من نصف النتائج ستكون صورة (50٪) لأن هذه هي قيمتها المتوقعة. وهذا مثال على قانون الأعداد الكبيرة.

يعود أصل قانون الأعداد الكبيرة إلى القرن السادس عشر مع جيرولامو كاردانو، إلا أن العديد من المؤلفين شاركوا في تطوير هذا القانون الإحصائي عبر التاريخ: برنولي، بواسون، تشيبيشيف، ماركوف، بوريل، كانتيلي، كولموجوروف وخينشين.

مثال على قانون الأعداد الكبيرة

وبعد الاطلاع على تعريف قانون الأعداد الكبيرة سنرى مثالا ملموسا لفهم معناه بشكل أفضل. في هذه الحالة سوف نقوم بتحليل احتمالات النتائج المحتملة التي يمكننا الحصول عليها عن طريق رمي حجر النرد.

هناك ست نتائج محتملة عند رمي حجر النرد (1، 2، 3، 4، 5، 6)، وبالتالي فإن الاحتمال النظري لكل حدث أولي هو:

لذلك سنقوم بعد ذلك بمحاكاة الإطلاق عدة مرات وتسجيل النتائج في جدول تكراري للتحقق من احترام قانون الأعداد الكبيرة.

وحتى تتمكن من رؤية أهمية عدد التجارب التي تم تنفيذها، سنقوم أولاً بمحاكاة عشر عمليات إطلاق، ثم مائة وأخيراً ألف. وبالتالي فإن النتائج التي تم الحصول عليها من محاكاة 10 رميات نرد عشوائية هي كما يلي:

وكما ترون فإن احتمالات التردد التي تم الحصول عليها من خلال محاكاة عشر رميات فقط لا تشبه الاحتمالات النظرية.

ولكن مع زيادة عدد التجارب، يصبح هذان المقياسان أكثر تشابهًا، انظر إلى محاكاة 100 عملية إطلاق:

الآن، أصبح احتمال التكرار المحسوب لكل رقم على حجر النرد أكثر تشابهًا مع احتماله النظري، ومع ذلك، ما زلنا نحصل على قيم مختلفة تمامًا.

أخيرًا، نقوم بنفس الإجراء ولكن بمحاكاة 1000 عملية إطلاق:

وكما نرى في الجدول الأخير، فإن قيم احتمالات التردد الآن قريبة جدًا من الاحتمالات النظرية.

باختصار، كلما زاد عدد التجارب التي تم إجراؤها، كلما اقتربت قيمة احتمال تكرار حدث ما من احتمال حدوثه النظري. ولذلك يتم احترام قانون الأعداد الكبيرة ، لأنه كلما زاد عدد التكرارات التي نقوم بها، كلما كانت القيم التجريبية أكثر تشابهاً مع القيم النظرية.

حدود قانون الأعداد الكبيرة

قانون الأعداد الكبيرة صالح في الغالبية العظمى من الحالات، ومع ذلك، هناك أنواع معينة من التوزيعات الاحتمالية لا تلبي هذه النظرية الإحصائية.

على سبيل المثال، لا يتقارب توزيع كوشي أو توزيع باريتو (α<1) مع زيادة عدد التجارب. ويرجع ذلك إلى ذيول التوزيعات الكبيرة، مما يعني أنه ليس لها قيمة متوقعة.

ومن ناحية أخرى فإن بعض التجارب تكون متحيزة بسبب خصائصها، بحيث يميل الباحث إلى تعديل النتائج (بقصد أو بغير قصد) لعقلانية ونفسية واقتصادية وغيرها. الأسباب. وفي هذه الحالات، لا يساعد قانون الأعداد الكبيرة في حل التحيز، ولكن التحيز سيستمر بغض النظر عن زيادة عدد التجارب.

قانون الأعداد الكبيرة ونظرية الحد المركزي

قانون الأعداد الكبيرة ونظرية الحد المركزي هما قاعدتان أساسيتان مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا بالاحتمالات والإحصاء. لذا سنرى في هذا القسم ما هي علاقتهم وما هو اختلافهم.

تنص نظرية الحد المركزي، والتي تسمى أيضًا نظرية الحد المركزي، على أن توزيع متوسطات العينة يقترب من التوزيع الطبيعي مع زيادة حجم العينة، بغض النظر عن التوزيع الاحتمالي للمجتمع.

الفرق بين قانون الأعداد الكبيرة ونظرية الحد المركزي هو أن قانون الأعداد الكبيرة يقول أن متوسط عدد كبير من المحاولات قريب من قيمته المتوقعة، أما نظرية الحد المركزي فتقول أن متوسط العديد من المحاولات العينات تقارب التوزيع الطبيعي.