احتمال اتحاد الأحداث

نشرح في هذه المقالة كيفية حساب الاحتمالية الموحدة للأحداث. لذلك سوف تكتشف ما هي صيغة احتمال اتحاد الأحداث، بالإضافة إلى التمارين التي تم حلها خطوة بخطوة.

ما هو اتحاد الأحداث؟

في نظرية الاحتمالات، اتحاد الأحداث هو عملية حدث تتكون نتيجتها من جميع الأحداث الأولية لمجموعات العملية. بمعنى آخر، اتحاد الحدثين A وB هو مجموعة الأحداث الموجودة في A أو B أو كليهما.

يتم التعبير عن اتحاد حدثين بالرمز ⋃. وهكذا فإن اتحاد الحدثين A وB يُكتب A⋃B.

على سبيل المثال، في التجربة العشوائية لدحرجة حجر النرد، إذا ألقي حدث واحد رقمًا فرديًا A={1, 3, 5} وألقى حدث آخر رقمًا أقل من ثلاثة B={1, 2}، فإن اتحاد الرقمين الأحداث هي A⋃B={1, 2, 3, 5}.

صيغة لاحتمال اتحاد الأحداث

احتمال اتحاد حدثين يساوي احتمال الحدث الأول زائد احتمال الحدث الثاني ناقص احتمال تقاطع الحدثين.

بمعنى آخر، صيغة احتمال اتحاد حدثين هي P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

ذهب:

• 

  هو احتمال اتحاد الحدث A والحدث B.

• 

  هو احتمال وقوع الحدث A.

• 

  هو احتمال وقوع الحدث B.

• 

  هو احتمال تقاطع الحدث A مع الحدث B.

أما إذا كان الحدثان غير متوافقين، فإن التقاطع بين الحدثين يكون صفرًا. ولذلك، يتم حساب احتمال اتحاد حدثين غير متوافقين عن طريق إضافة احتمال حدوث كل حدث.

أمثلة محلولة على احتمال اتحاد الأحداث

وحتى تتمكن من معرفة كيفية حساب احتمال اتحاد حدثين، نترك لك أدناه مثالين تم حلهما خطوة بخطوة. سنجد أولًا احتمال اتحاد حدثين غير متوافقين، ثم احتمال اتحاد حدثين متوافقين، نظرًا لأن الحساب مختلف قليلاً.

احتمال اتحاد حدثين غير متوافقين

• نضع 10 كرات زرقاء و6 كرات برتقالية و4 كرات خضراء في صندوق. ما احتمال سحب كرة زرقاء أو برتقالية؟

يطلب منا التمرين تحديد احتمال وقوع حدث أو آخر. لذلك، لحل المشكلة، يجب علينا استخدام صيغة اتحاد الحدثين:

لذلك، نقوم أولاً بحساب احتمال وقوع كل حدث على حدة باستخدام صيغة قاعدة لابلاس :

ومع ذلك، في هذه الحالة، لا يمكن أن يحدث كلا الحدثين في نفس الوقت، لأنهما حدثان غير متوافقين. لذا، إذا رسمنا كرة زرقاء، فلن نتمكن من رسم كرة برتقالية، والعكس صحيح.

ولذلك، فإن الاحتمال المشترك لكلا الحدثين هو صفر، وبالتالي يتم تبسيط الصيغة:

إذن حساب احتمال الإمساك بالكرة الزرقاء أو البرتقالية هو كما يلي:

باختصار، احتمالية إخراج كرة زرقاء أو برتقالية من الصندوق هي 80%.

احتمال اتحاد حدثين متوافقين

• إذا رمينا قطعة نقد مرتين، فما احتمال ظهور الصورة عند رميها مرة واحدة على الأقل؟

في هذه الحالة، تكون الأحداث متوافقة، حيث يمكننا الحصول على “رؤوس” في الرمية الأولى و”ذيول” في الرمية الثانية. ولذلك، فإن صيغة حساب احتمالية اتحاد الأحداث ليست مبسطة وهي كما يلي:

لذا، نحتاج أولاً إلى حساب احتمال الحصول على “صورة” عند رمي العملة المعدنية من خلال تطبيق قاعدة لابلاس:

الآن دعونا نحسب احتمال تقاطع الحدثين باستخدام صيغة قاعدة الضرب :

أخيرًا، للعثور على احتمال سقوط الرؤوس في إحدى الرميتين على الأقل، ما عليك سوى استبدال القيم في الصيغة وإجراء الحساب:

في الختام، فإن احتمال ظهور الصورة مرة واحدة على الأقل عند رمي العملة المعدنية مرتين هو 75%.

خصائص اتحادات الأحداث

في نظرية الاحتمالات، فإن عمل اتحاد الأحداث يلبي الخصائص التالية:

• الخاصية التبادلية: ترتيب الأحداث في الاتحاد لا يغير نتيجة العملية.

• الخاصية الترابطية: يمكن حساب اتحاد الأحداث الثلاثة بأي ترتيب، لأن النتيجة واحدة.

• خاصية التوزيع: اتحاد الأحداث يحقق خاصية التوزيع بتقاطع الأحداث.