نظرية الاحتمالات

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 1, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هي نظرية الاحتمالات وفيم يتم استخدامها. لذلك ستجد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات وكذلك خصائص وقوانين نظرية الاحتمالات.

ما هي نظرية الاحتمالات؟

نظرية الاحتمالية هي مجموعة من القواعد والخصائص المستخدمة لحساب احتمالية حدوث ظاهرة عشوائية. وبالتالي، تسمح لنا نظرية الاحتمالات بمعرفة نتيجة التجربة العشوائية التي من المرجح أن تحدث.

ضع في اعتبارك أن الظاهرة العشوائية هي نتيجة يمكن الحصول عليها من تجربة لا يمكن التنبؤ بنتائجها، ولكنها تعتمد على الصدفة. وبالتالي فإن نظرية الاحتمالية هي مجموعة من القوانين التي تسمح لنا بتحديد احتمالية حدوث ظاهرة عشوائية.

على سبيل المثال، عندما نرمي عملة معدنية، يمكننا الحصول على نتيجتين محتملتين: الصورة أو الكتابة. حسنًا، يمكننا استخدام نظرية الاحتمالات لحساب احتمالية الحصول على صور، وهي في هذه الحالة 50%.

على مر التاريخ، ساهم العديد من الأشخاص في تطوير نظرية الاحتمالات، ومن بينهم كاردانو ولابلاس وجاوس وكولموغوروف.

➤ انظر: الصيغ الاحتمالية

أساسيات نظرية الاحتمالات

فضاء العينة

في نظرية الاحتمالات، فضاء العينة هو مجموعة جميع النتائج المحتملة لتجربة عشوائية.

رمز فضاء العينة هو الحرف اليوناني الكبير أوميغا (Ω)، على الرغم من أنه يمكن أيضًا تمثيله بالحرف الكبير E.

على سبيل المثال، مساحة العينة عند رمي حجر النرد هي:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

➤ انظر: مساحة العينة

حدث

في نظرية الاحتمالات، الحدث (أو الحدث) هو كل نتيجة محتملة لتجربة عشوائية. ولذلك، فإن احتمال وقوع حدث ما هو القيمة التي تشير إلى احتمال حدوث نتيجة ما.

على سبيل المثال، في عملية رمي العملة المعدنية، هناك حدثان: “الصورة” و”الصورة”.

هناك أنواع مختلفة من الأحداث:

الحدث الأولي (أو الحدث البسيط): كل نتيجة من النتائج المحتملة للتجربة.
الحدث المركب: هو مجموعة فرعية من فضاء العينة.
حدث معين: هذا هو نتيجة تجربة عشوائية ستحدث دائمًا.
الحدث المستحيل: هو نتيجة تجربة عشوائية لن تحدث أبداً.
الأحداث المتوافقة: يكون الحدثان متوافقين عندما يكون بينهما حدث أولي مشترك.
الأحداث غير المتوافقة: حدثان غير متوافقين عندما لا يشتركان في أي حدث أولي.
الأحداث المستقلة: يكون الحدثان مستقلين إذا كان احتمال وقوع أحدهما لا يؤثر على احتمال وقوع الآخر.
الأحداث المستقلة: حدثان يعتمدان إذا كان احتمال حدوث أحدهما يغير احتمال وقوع الآخر.
الحدث المخالف للآخر: ذلك الحدث الذي يقع عندما لا يقع الحدث الآخر.

➤ انظر: أنواع الأحداث

بديهيات الاحتمال

بديهيات الاحتمال هي:

بديهية الاحتمال 1 : لا يمكن أن يكون احتمال وقوع حدث سلبيًا.

$0\leq P(A)\leq 1$

بديهية الاحتمال 2 : احتمال وقوع حدث معين هو 1.

$P(\Omega)=1$

بديهية الاحتمال 3 : احتمال مجموعة من الأحداث غير المتوافقة يساوي مجموع جميع الاحتمالات.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ انظر: بديهيات الاحتمال

خصائص الاحتمال

خصائص الاحتمال هي:

احتمال وقوع حدث واحد يساوي واحدًا ناقص احتمال الحدث المعاكس له.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

احتمال وقوع حدث مستحيل هو دائما صفر.

$P(\varnothing)=0$

إذا تم تضمين حدث في حدث آخر، فيجب أن يكون احتمال الحدث الأول أقل من أو يساوي احتمال الحدث الثاني.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

احتمال اتحاد حدثين يساوي مجموع احتمال وقوع كل حدث على حدة مطروحًا منه احتمال تقاطعهما.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

بالنظر إلى مجموعة من الأحداث غير المتوافقة اثنين تلو اثنين، يتم حساب احتمالها المشترك عن طريق إضافة احتمال حدوث كل حدث.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

مجموع احتمالات جميع الأحداث الأولية في فضاء العينة يساوي 1.

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

➤ انظر: خواص الاحتمال

قواعد الاحتمالية

قاعدة لابلاس

قاعدة لابلاس هي قاعدة احتمالية تستخدم لحساب احتمال وقوع حدث في فضاء العينة.

وبشكل أكثر تحديدًا، تنص قاعدة لابلاس على أن احتمال وقوع حدث ما يساوي عدد الحالات المفضلة مقسومًا على إجمالي عدد الحالات المحتملة. وبالتالي فإن صيغة قاعدة لابلاس هي كما يلي:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

على سبيل المثال، إذا وضعنا 5 كرات خضراء و4 كرات زرقاء وكرتين صفراء في كيس، فيمكننا إيجاد احتمال سحب كرة خضراء عشوائيًا باستخدام قاعدة لابلاس:

$P(\text{bola verde})=\cfrac{5}{5+4+2}=0,45$

➤ انظر: قاعدة لابلاس (الاحتمال)

حكم المجموع

في نظرية الاحتمالات، تنص قاعدة المجموع (أو قاعدة الجمع) على أن مجموع احتمالات حدثين يساوي مجموع احتمال وقوع كل حدث على حدة مطروحًا منه احتمال وقوع كلا الحدثين في نفس الوقت. وقت. .

إذن صيغة قاعدة الجمع هي كما يلي:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

يمكنكم الاطلاع على التمارين المحلولة خطوة بخطوة لتطبيق قاعدة الجمع في الرابط التالي:

➤ انظر: قاعدة الجمع (الاحتمال)

قاعدة الضرب

تنص قاعدة الضرب (أو قاعدة المنتج) على أن الاحتمال المشترك لحدوث حدثين مستقلين يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع كل حدث.

وبالتالي فإن صيغة قاعدة الضرب هي كما يلي:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

ومع ذلك، تختلف صيغة قاعدة الضرب اعتمادًا على ما إذا كانت الأحداث مستقلة أم مستقلة. يمكنك معرفة ما هي صيغة قاعدة الضرب للأحداث التابعة وأمثلة لتطبيق هذه القاعدة بالنقر هنا:

➤ انظر: قاعدة الضرب (الاحتمال)

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر