مقدمة للتوزيع السلبي ذي الحدين

يصف التوزيع السلبي ذو الحدين احتمالية مواجهة عدد معين من حالات الفشل قبل تجربة عدد معين من النجاحات في سلسلة من تجارب برنولي.

تجربة برنولي هي تجربة ذات نتيجتين محتملتين فقط – “النجاح” أو “الفشل” – واحتمال النجاح هو نفسه في كل مرة يتم فيها إجراء التجربة.

مثال على مقال برنولي هو رمي العملة. لا يمكن للعملة أن تستقر إلا على وجهين (قد نطلق على الصورة “ضربة” والوجه “فشل”) واحتمال النجاح في كل رمية هو 0.5، على افتراض أن العملة عادلة.

إذا كان متغير عشوائي

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

ذهب:

• ك: عدد حالات الفشل
• ص: عدد النجاحات
• ع: احتمال النجاح في تجربة معينة
• _k+r-1 C _k : عدد مجموعات (k+r-1) من الأشياء المأخوذة k في المرة الواحدة

على سبيل المثال، لنفترض أننا نقلب عملة معدنية ونحدد الحدث “الناجح” بأنه الهبوط على الرؤوس. ما هو احتمال مواجهة 6 إخفاقات قبل تجربة إجمالي 4 نجاحات؟

للإجابة على هذا السؤال، يمكننا استخدام التوزيع السالب ذو الحدين مع المعلمات التالية:

• ك: عدد حالات الفشل = 6
• ص: عدد النجاحات = 4
• ع: احتمال النجاح في تجربة معينة = 0.5

وبالتعويض بهذه الأرقام في الصيغة نجد أن الاحتمال هو:

P(X=6 حالات فشل) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 .

خصائص التوزيع السلبي ذي الحدين

التوزيع السلبي ذو الحدين له الخصائص التالية:

متوسط عدد حالات الفشل التي نتوقعها قبل أن نحقق النجاح هو pr/(1-p) .

إن تباين عدد حالات الفشل المتوقعة قبل الحصول على النجاح r هو pr / (1-p) ² .

على سبيل المثال، لنفترض أننا نقلب عملة معدنية ونحدد الحدث “الناجح” بأنه الهبوط على الرؤوس.

متوسط عدد حالات الفشل (مثل الهبوط الخلفي) الذي نتوقعه قبل الحصول على 4 نجاحات سيكون pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 .

سيكون تباين عدد حالات الفشل التي نتوقعها قبل الحصول على 4 نجاحات هو pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 .

مشاكل التوزيع ذات الحدين السالبة

استخدم المسائل التدريبية التالية لاختبار معرفتك بالتوزيع السلبي ذي الحدين.

ملاحظة: سوف نستخدم حاسبة التوزيع السالب ذي الحدين لحساب إجابات هذه الأسئلة.

المشكلة 1

سؤال: لنفترض أننا نقلب عملة معدنية وحددنا الحدث “الناجح” بأنه الهبوط على الرؤوس. ما هو احتمال تجربة 3 إخفاقات قبل تجربة إجمالي 4 نجاحات؟

الإجابة: باستخدام حاسبة التوزيع السالبة ذات الحدين مع k = 3 حالات فشل، r = 4 نجاحات و p = 0.5، نجد أن P(X=3) = 0.15625 .

المشكلة 2

سؤال: لنفترض أننا نذهب من باب إلى باب لبيع الحلوى. نحن نعتبره “نجاحًا” إذا اشترى شخص ما قطعة حلوى. احتمال أن يشتري شخص ما قطعة حلوى هو 0.4. ما هو احتمال مواجهة 8 إخفاقات قبل تجربة إجمالي 5 نجاحات؟

الإجابة: باستخدام حاسبة التوزيع السالبة ذات الحدين مع k = 8 حالات فشل، r = 5 نجاحات و p = 0.4، نجد أن P(X=8) = 0.08514 .

المشكلة 3

سؤال: لنفترض أننا دحرجنا حجر نرد وقمنا بتعريف الرمية “الناجحة” على أنها الهبوط على الرقم 5. احتمال هبوط النرد على الرقم 5 في لفة معينة هو 1/6 = 0.167. ما هو احتمال تجربة 4 إخفاقات قبل تجربة إجمالي 3 نجاحات؟

الإجابة: باستخدام حاسبة التوزيع السالبة ذات الحدين مع k = 4 حالات فشل، r = 3 نجاحات و p = 0.167، نجد أن P(X=4) = 0.03364 .