التوقع الرياضي (أو القيمة المتوقعة)

By دكتور بنيامين أندرسون زومار 5, 2023 احتمالا 0 Comments

تشرح هذه المقالة ما هو التوقع الرياضي (أو القيمة المتوقعة) للمتغير العشوائي وكيفية حسابه. سوف تجد تمرينًا محلولاً للأمل الرياضي. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك العثور على القيمة المتوقعة لأي مجموعة بيانات باستخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت.

ما هو التوقع الرياضي (أو القيمة المتوقعة)؟

في الإحصاء، التوقع ، ويسمى أيضًا القيمة المتوقعة ، هو رقم يمثل متوسط قيمة متغير عشوائي. التوقع الرياضي يساوي مجموع جميع المنتجات التي شكلتها قيم الأحداث العشوائية واحتمالات حدوثها.

رمز التوقع هو الحرف E الكبير، على سبيل المثال، توقع المتغير الإحصائي X يمثله E(X).

وبالمثل، فإن قيمة التوقع الرياضي لمجموعة البيانات تتطابق مع متوسطها (متوسط السكان).

كيفية حساب التوقع الرياضي

لحساب التوقع الرياضي لمتغير منفصل يجب اتباع الخطوات التالية:

اضرب كل حدث محتمل في احتمالية حدوثه.
أضف جميع النتائج التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة.
القيمة التي تم الحصول عليها هي التوقع الرياضي (أو القيمة المتوقعة) للمتغير.

وبالتالي، فإن صيغة حساب التوقع الرياضي (أو القيمة المتوقعة) لمتغير منفصل هي كما يلي:

👉 يمكنك استخدام الآلة الحاسبة أدناه لحساب القيمة المتوقعة لأي مجموعة بيانات.

لاحظ أنه لا يمكن استخدام الصيغة أعلاه إلا إذا كان المتغير العشوائي منفصلاً (في معظم الحالات). أما إذا كان المتغير مستمرا فيجب علينا استخدام الصيغة التالية للحصول على التوقع الرياضي:

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

ذهب

$f_x$

هي دالة الكثافة للمتغير المستمر

مثال على التوقع الرياضي

وبالنظر إلى تعريف التوقع (أو القيمة المتوقعة)، يوجد أدناه مثال ملموس حتى تتمكن من رؤية كيفية إجراء الحساب.

يشارك شخص ما في لعبة يمكنه فيها ربح المال أو خسارته بناءً على الرقم الذي يظهر عند رمي حجر النرد. إذا لفات واحدة تربح 800 دولار، وإذا لفات 2 أو 3 ستخسر 500 دولار، وإذا لفات 4 أو 5 أو 6 فستربح 100 دولار. سعر المشاركة هو 50 دولارًا. هل تنصح بالمشاركة في لعبة الاحتمال هذه؟

أول شيء يجب فعله هو تحديد احتمالية كل حدث. بما أن حجر النرد له ستة وجوه، فإن احتمال ظهور أي رقم هو:

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

وبالتالي فإن احتمال وقوع كل حدث هو:

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

الآن بعد أن عرفنا احتمال وقوع كل حدث، نطبق الصيغة الرياضية للتوقع:

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

ونقوم بحساب التوقع الرياضي (أو القيمة المتوقعة):

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

القيمة المتوقعة أقل من سعر المشاركة في هذه اللعبة، لذلك سيكون من الأفضل عدم اللعب لأنه على المدى الطويل سوف ينتهي بك الأمر بخسارة المال. من الممكن أنك إذا شاركت فقط عندما يصل الرقم إلى 1، فسوف تحقق ربحًا كبيرًا، ولكن احتمال تكبد الخسائر على المدى الطويل مرتفع.

تجدر الإشارة إلى أن نتيجة التوقع الرياضي تكون في بعض الأحيان قيمة مستحيلة، على سبيل المثال، في هذه الحالة لا يمكن الحصول على 16.67 دولارًا.

حاسبة التوقعات

أدخل مجموعة من البيانات الإحصائية في الآلة الحاسبة التالية لحساب القيمة المتوقعة. يجب أن تضع في المربع الأول قيمة كل حدث وفي المربع الثاني احتمالية حدوثه بنفس الترتيب.

يجب فصل البيانات بمسافة وإدخالها باستخدام النقطة كفاصل عشري.

خصائص التوقع الرياضي

خصائص التوقع الرياضي هي كما يلي:

التوقع الرياضي للثابت هو نفسه.

$E(k)=k$

إن توقع المتغير العشوائي مضروبًا في العدد يساوي توقع هذا المتغير مضروبًا في هذا العدد.

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

والتوقع الرياضي لمجموع متغيرين يعادل مجموع التوقعات الرياضية لكل متغير.

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

بشكل عام، ضرب متغيرين ينتج عنه توقعات رياضية مختلفة. والنتيجة هي نفسها فقط إذا كانت المتغيرات مستقلة.

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

إذا كانت جميع قيم المتغير أكبر من أو تساوي الصفر، فإن التوقع الرياضي لذلك المتغير يكون أيضًا موجبًا أو يساوي الصفر.

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

إذا كانت جميع قيم متغير واحد أقل من جميع قيم متغير آخر، فإن توقعات المتغيرين لها نفس العلاقة.

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

إذا علمنا أن المتغير محدد بقيمتين، فإن توقعه الرياضي يكون منطقيًا أيضًا محدودًا.

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”41″ width=”1116″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ ما هو التوقع الرياضي المستخدم؟

في هذا القسم الأخير، سوف نتعمق أكثر في معنى الأمل الرياضي. بشكل ملموس، سوف نرى ما هو استخدام هذا المقياس الإحصائي وبالتالي فهم المفهوم بشكل أفضل.

يتم استخدام التوقع الرياضي (أو القيمة المتوقعة) للحصول على قيمة المبلغ المتوقع اكتسابه أو خسارته على المدى الطويل في الفضاء الاحتمالي. بمعنى آخر، يشير التوقع الرياضي إلى العائد الذي سيتم الحصول عليه على المدى الطويل.

عندما يفكر شخص ما في القيام باستثمار، مثل شراء أسهم شركة، فإن أحد العوامل التي يجب أخذها في الاعتبار هو التوقع الرياضي. لأنه إذا قمت بهذا الاستثمار عدة مرات، فإن العائد الاقتصادي الذي ستحصل عليه سيكون قيمة التوقع الرياضي. ويمكن اعتباره متوسط الفوائد التي تم الحصول عليها.

وبالمثل، يتم استخدام التوقع الرياضي أيضًا في مجالات أخرى مثل الاقتصاد القياسي وفيزياء الكم والتجارة وحتى علم الأحياء.

About Author

دكتور بنيامين أندرسون

مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر