كيفية العثور على احتمال a أو b: مع الأمثلة

بالنظر إلى الحدثين A وB، فإن “إيجاد احتمال A أو B” يعني إيجاد احتمال وقوع الحدث A أو الحدث B.

بشكل عام نكتب هذا الاحتمال بطريقتين:

• P(A أو B) – نموذج مكتوب
• P(A∪B) – تدوين النموذج

تعتمد كيفية حساب هذا الاحتمال على ما إذا كان الحدثان A وB متنافيين أم لا. حدثان متنافيان إذا لم يمكن أن يحدثا في نفس الوقت.

إذا كان A و B متنافيين ، فإن الصيغة التي نستخدمها لحساب P(A∪B) هي:

 Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B)

إذا لم يكن A و B متنافيين ، فإن الصيغة التي نستخدمها لحساب P(A∪B) هي:

 Not Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

لاحظ أن P(A∩B) هو احتمال وقوع الحدث A والحدث B.

توضح الأمثلة التالية كيفية استخدام هذه الصيغ عمليًا.

أمثلة: P(A∪B) للأحداث المتنافية

مثال 1: ما هو احتمال رمي حجر النرد والحصول على 2 أو 5؟

الحل: إذا عرفنا الحدث A بأنه ظهور 2 والحدث B بأنه ظهور 5، فإن هذين الحدثين متنافيان لأننا لا نستطيع الحصول على 2 و 5 في نفس الوقت. وبالتالي فإن احتمال حصولنا على 2 أو 5 يتم حسابه على النحو التالي:

P(A∪B) = (1/6) + (1/6) = 2/6 = 1/3.

مثال 2: افترض أن جرة تحتوي على 3 كرات حمراء وكرتين أخضرتين و5 كرات صفراء. إذا اخترنا كرة عشوائيًا، ما احتمال اختيار كرة حمراء أو كرة خضراء؟

الحل: إذا عرفنا الحدث A بأنه اختيار كرة حمراء والحدث B بأنه اختيار كرة خضراء، فإن هذين الحدثين متنافيان لأننا لا نستطيع اختيار كرة واحدة في كل مرة باللونين الأحمر والأخضر. لذلك يتم حساب احتمالية اختيار كرة حمراء أو خضراء على النحو التالي:

P(A∪B) = (3/10) + (2/10) = 5/10 = 1/2.

أمثلة: P(A ∪ B) للأحداث غير المتنافية

توضح الأمثلة التالية كيفية حساب P(A∪B) عندما لا يكون A وB حدثين متنافيين.

مثال 1: إذا اخترنا بطاقة بشكل عشوائي من مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة، ما هو احتمال اختيار الأشياء بأسمائها الحقيقية أو الملكة؟

الحل: في هذا المثال، من الممكن اختيار بطاقة تحتوي على الأشياء بأسمائها الحقيقية والملكة ، لذا فإن هذين الحدثين لا يستبعد أحدهما الآخر.

إذا جعلنا الحدث A هو حدث اختيار الأشياء بأسمائها الحقيقية والحدث B هو حدث اختيار الملكة، فلدينا الاحتمالات التالية:

• ف(أ) = 13/52
• ف(ب) = 4/52
• ف(أ∩ب) = 1/52

لذلك، يتم حساب احتمال اختيار الأشياء بأسمائها الحقيقية أو الملكة على النحو التالي:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (13/52) + (4/52) – (1/52) = 16/52 = 4/13.

مثال 2: إذا ألقينا حجر نرد، ما احتمال سقوط حجر النرد على رقم أكبر من 3 أو رقم زوجي؟

الحل: في هذا المثال، من الممكن أن يستقر حجر النرد على رقم أكبر من 3 أو زوجي، وبالتالي فإن هذين الحدثين لا يستبعد أحدهما الآخر.

إذا جعلنا الحدث A هو حدث الحصول على رقم أكبر من 3 والحدث B هو حدث الحصول على رقم زوجي، فلدينا الاحتمالات التالية:

• ف(أ) = 3/6
• ف(ب) = 3/6
• ف(أ∩ب) = 2/6

وبالتالي، فإن احتمال سقوط حجر النرد على رقم أكبر من 3 أو رقم زوجي يتم حسابه على النحو التالي:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (3/6) + (3/6) – (2/6) = 4/6 = 2/3.