كيفية إيجاد احتمالية a وb: مع الأمثلة

بالنظر إلى الحدثين A وB، فإن “إيجاد احتمال A وB” يعني إيجاد احتمال وقوع الحدثين A وB.

بشكل عام نكتب هذا الاحتمال بطريقتين:

• P(A and B) – نموذج مكتوب
• P(A∩B) – تدوين النموذج

تعتمد كيفية حساب هذا الاحتمال على ما إذا كان الحدثان A وB مستقلين أم مستقلين.

إذا كان A و B مستقلين ، فإن الصيغة التي نستخدمها لحساب P(A∩B) هي ببساطة:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

إذا كان A وB مستقلين ، فإن الصيغة التي نستخدمها لحساب P(A∩B) هي:

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

لاحظ أن P(B|A) هو الاحتمال المشروط لحدوث الحدث B   وقوع الحدث أ.

توضح الأمثلة التالية كيفية استخدام هذه الصيغ عمليًا.

أمثلة على P(A∩B) للأحداث المستقلة

توضح الأمثلة التالية كيفية حساب P(A∩B) عندما يكون A وB حدثين مستقلين.

مثال 1: احتمال فوز فريق البيسبول المفضل لديك ببطولة العالم هو 1/30 واحتمال فوز فريق كرة القدم المفضل لديك بلقب Super Bowl هو 1/32. ما هو احتمال فوز فريقيك المفضلين بالبطولة الخاصة بكل منهما؟

الحل: في هذا المثال، احتمال وقوع كل حدث مستقل عن الآخر. وبالتالي يتم حساب احتمال حدوث كليهما على النحو التالي:

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = 0.00104.

مثال 2: تقوم برمي حجر النرد ورمي عملة معدنية في نفس الوقت. ما احتمال أن يستقر حجر النرد على الرقم 4 وأن تستقر العملة على الكتابة؟

الحل: في هذا المثال، احتمال وقوع كل حدث مستقل عن الآخر. وبالتالي يتم حساب احتمال حدوث كليهما على النحو التالي:

ف(أ∩ب) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0.083333.

أمثلة على P(A∩B) للأحداث التابعة

توضح الأمثلة التالية كيفية حساب P(A∩B) عندما يكون A وB حدثين تابعين.

مثال 1: تحتوي الجرة على 4 كرات حمراء و4 كرات خضراء. اخترت عشوائيا الكرة من الجرة. ثم، دون استبدال، يمكنك تحديد كرة أخرى. ما هو احتمال أن تختار كرة حمراء في كل مرة؟

الحل: في هذا المثال، لون الكرة التي تختارها في المرة الأولى يؤثر على احتمالية اختيار كرة حمراء في المرة الثانية. وبالتالي فإن الحدثين يعتمدان.

دعونا نحدد الحدث A بأنه احتمال اختيار كرة حمراء في المرة الأولى. هذا الاحتمال هو P(A) = 4/8. بعد ذلك، علينا إيجاد احتمال اختيار كرة حمراء مرة أخرى، بشرط أن تكون الكرة الأولى حمراء. في هذه الحالة، لم يتبق سوى 3 كرات حمراء للاختيار منها و7 كرات فقط في الجرة. وبالتالي، P(B|A) هو 3/7.

وبالتالي فإن احتمال أن نختار كرة حمراء في كل مرة سيتم حسابه على النحو التالي:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0.214.

مثال 2: في فصل معين، هناك 15 ولدًا و12 فتاة. لنفترض أننا وضعنا أسماء كل طالب في حقيبة. نختار اسمًا من الحقيبة بشكل عشوائي. ثم، بدون استبدال، نختار اسمًا آخر. ما هو احتمال أن يكون كلا الاسمين صبيان؟

الحل: في هذا المثال، يؤثر الاسم الأول الذي نختاره في المرة الأولى على احتمالية اختيار الاسم الأول للصبي في الرسم الثاني. وبالتالي فإن الحدثين يعتمدان.

دعونا نحدد الحدث (أ) بأنه احتمال اختيار صبي لأول مرة. هذا الاحتمال هو P(A) = 15/27. بعد ذلك، علينا إيجاد احتمال اختيار ولد مرة أخرى، بشرط أن يكون الاسم الأول صبيًا. في هذه الحالة، لم يتبق سوى 14 فتى للاختيار من بينهم وإجمالي 26 اسمًا فقط في الحقيبة. وبالتالي، P(B|A) هو 14/26.

وبالتالي فإن احتمال أن نختار اسم الصبي في كل مرة سيتم حسابه على النحو التالي:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0.299.