كيفية العثور على احتمالية النجاح "اثنين على الأقل".

يمكننا استخدام الصيغة العامة التالية لإيجاد احتمال نجاحين على الأقل في سلسلة من التجارب:

 P(at least two successes) = 1 - P(zero successes) - P(one success)

في الصيغة أعلاه، يمكننا حساب كل احتمال باستخدام الصيغة التالية للتوزيع ذي الحدين :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

ذهب:

• ن: عدد التجارب
• ك: عدد النجاحات
• ع: احتمال النجاح في تجربة معينة
• _n C _k : عدد الطرق للحصول على نجاحات k في التجارب n

توضح الأمثلة التالية كيفية استخدام هذه الصيغة للعثور على احتمالية نجاح “اثنتين على الأقل” في سيناريوهات مختلفة.

مثال 1: محاولات الرمية الحرة

يقوم تاي بـ 25% من محاولات الرمية الحرة. إذا نفذ خمس رميات حرة، فأوجد احتمال أن ينفذ رميتين على الأقل.

أولاً، دعونا نحسب احتمالية قيامه بتنفيذ رمية حرة صفرية أو رمية حرة واحدة بالضبط:

ف(X=0) = ₅ ج ₀ * 0.25 ⁰ * (1-0.25) ^5-0 = 1 * 1 * 0.75 ⁵ = 0.2373

ف(X=1) = ₅ ج ₁ * 0.25 ¹ * (1-0.25) ^5-1 = 5 * 0.25 * 0.75 ⁴ = 0.3955

بعد ذلك، دعونا نعوض هذه القيم في الصيغة التالية لإيجاد احتمال أن يقوم Ty برميتين حرتين على الأقل:

• ف(X≥2) = 1 – ف(X=0) – ف(X=1)
• ف(X≥2) = 1 – 0.2372 – 0.3955
• ف(X≥2) = 0.3673

احتمال قيام Ty بتنفيذ رميتين حرتين على الأقل في خمس محاولات هو 0.3673 .

المثال 2: الحاجيات

في مصنع معين، 2% من جميع الأدوات معيبة. في عينة عشوائية مكونة من 10 عناصر واجهة مستخدم، حدد احتمالية وجود خلل في اثنتين منها على الأقل.

أولاً، دعونا نحسب احتمال أن يكون الصفر بالضبط أو الواحد بالضبط معيبًا:

ف(X=0) = ₁₀ ج ₀ * 0.02 ⁰ * (1-0.02) ^10-0 = 1 * 1 * 0.98 ¹⁰ = 0.8171

ف(X=1) = ₁₀ ج ₁ * 0.02 ¹ * (1-0.02) ^10-1 = 10 * 0.02 * 0.98 ⁹ = 0.1667

بعد ذلك، دعنا نعوض هذه القيم في الصيغة التالية للعثور على احتمال وجود خلل في عنصرين على الأقل:

• ف(X≥2) = 1 – ف(X=0) – ف(X=1)
• ف(X≥2) = 1 – 0.8171 – 0.1667
• ف(X≥2) = 0.0162

احتمال وجود عيبين على الأقل في هذه العينة العشوائية المكونة من 10 هو 0.0162 .

مثال 3: أسئلة تافهة

يجيب بوب على 60% من الأسئلة التافهة بشكل صحيح. إذا سألناه خمسة أسئلة تافهة، فأوجد احتمال أن يجيب على سؤالين على الأقل بشكل صحيح.

أولاً، دعونا نحسب احتمال أن يجيب بالضبط على صفر أو واحد بالضبط:

ف(X=0) = ₅ ج ₀ * 0.60 ⁰ * (1-0.60) ^5-0 = 1 * 1 * 0.40 ⁵ = 0.01024

ف(X=1) = ₅ ج ₁ * 0.60 ¹ * (1-0.60) ^5-1 = 5 * 0.60 * 0.40 ⁴ = 0.0768

بعد ذلك، دعونا نعوض هذه القيم في الصيغة التالية لإيجاد احتمال أن يجيب على سؤالين على الأقل بشكل صحيح:

• ف(X≥2) = 1 – ف(X=0) – ف(X=1)
• ف(X≥2) = 1 – 0.01024 – 0.0768
• ف(X≥2) = 0.91296

احتمال أن يجيب على سؤالين على الأقل من أصل خمسة أسئلة بشكل صحيح هو 0.91296 .

المكافأة: حاسبة احتمالية “اثنين على الأقل”

استخدم هذه الآلة الحاسبة للعثور تلقائيًا على احتمالية نجاح “اثنتين على الأقل”، استنادًا إلى احتمالية النجاح في تجربة معينة والعدد الإجمالي للمحاولات.