كيفية العثور على احتمالية النجاح "ثلاثة على الأقل".

يمكننا استخدام الصيغة العامة التالية لإيجاد احتمالية تحقيق ثلاثة نجاحات على الأقل في سلسلة من التجارب:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

في الصيغة أعلاه، يمكننا حساب كل احتمال باستخدام الصيغة التالية للتوزيع ذي الحدين :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

ذهب:

• ن: عدد التجارب
• ك: عدد النجاحات
• ع: احتمال النجاح في تجربة معينة
• _n C _k : عدد الطرق للحصول على نجاحات k في التجارب n

توضح الأمثلة التالية كيفية استخدام هذه الصيغة للعثور على احتمالية النجاح “ثلاثة على الأقل” في سيناريوهات مختلفة.

مثال 1: محاولات الرمية الحرة

يقوم تاي بـ 25% من محاولات الرمية الحرة. إذا نفذ خمس رميات حرة، فأوجد احتمال أن ينفذ ثلاث رميات حرة على الأقل.

أولاً، دعونا نحسب احتمالية قيامه بتنفيذ رمية حرة واحدة أو صفر تمامًا أو رميتين حرتين تمامًا:

ف(X=0) = ₅ ج ₀ * 0.25 ⁰ * (1-0.25) ^5-0 = 1 * 1 * 0.75 ⁵ = 0.2373

ف(X=1) = ₅ ج ₁ * 0.25 ¹ * (1-0.25) ^5-1 = 5 * 0.25 * 0.75 ⁴ = 0.3955

ف(س=2) = ₅ ج ₂ * 0.25 ² * (1-0.25) ^5-2 = 10 * 0.0625 * 0.75 ³ = 0.2636

بعد ذلك، دعونا نعوض هذه القيم في الصيغة التالية لإيجاد احتمال أن يقوم Ty بثلاث رميات حرة على الأقل:

• ف(X≥3) = 1 – ف(X=0) – ف(X=1) – ف(X=2)
• ف(X≥3) = 1 – 0.2373 – 0.3955 – 0.2636
• ف(X≥3) = 0.1036

احتمال أن يقوم Ty بثلاث رميات حرة على الأقل في خمس محاولات هو 0.1036 .

المثال 2: الحاجيات

في مصنع معين، 2% من جميع الأدوات معيبة. في عينة عشوائية مكونة من 10 عناصر واجهة مستخدم، حدد احتمالية وجود خلل في اثنتين منها على الأقل.

أولاً، دعونا نحسب احتمالية وجود صفر بالضبط، أو واحد بالضبط، أو اثنين بالضبط معيبين:

ف(X=0) = ₁₀ ج ₀ * 0.02 ⁰ * (1-0.02) ^10-0 = 1 * 1 * 0.98 ¹⁰ = 0.8171

ف(X=1) = ₁₀ ج ₁ * 0.02 ¹ * (1-0.02) ^10-1 = 10 * 0.02 * 0.98 ⁹ = 0.1667

ف(X=2) = ₁₀ ج ₂ * 0.02 ² * (1-0.02) ^10-2 = 45 * 0.0004 * 0.98 ⁸ = 0.0153

بعد ذلك، دعونا نعوض هذه القيم في الصيغة التالية للعثور على احتمال وجود ثلاثة عناصر واجهة مستخدم على الأقل معيبة:

• ف(X≥3) = 1 – ف(X=0) – ف(X=1) – ف(X=2)
• ف(X≥3) = 1 – 0.8171 – 0.1667 – 0.0153
• ف(X≥3) = 0.0009

احتمال وجود ثلاث عناصر واجهة مستخدم على الأقل معيبة في هذه العينة العشوائية المكونة من 10 هو 0.0009 .

مثال 3: أسئلة تافهة

يجيب بوب على 60% من الأسئلة التافهة بشكل صحيح. إذا سألناه خمسة أسئلة تافهة، فأوجد احتمال أن يجيب على ثلاثة أسئلة صحيحة على الأقل.

أولاً، دعونا نحسب احتمال أن يجيب بالضبط على صفر، أو واحد بالضبط، أو اثنين بالضبط بشكل صحيح:

ف(X=0) = ₅ ج ₀ * 0.60 ⁰ * (1-0.60) ^5-0 = 1 * 1 * 0.40 ⁵ = 0.01024

ف(X=1) = ₅ ج ₁ * 0.60 ¹ * (1-0.60) ^5-1 = 5 * 0.60 * 0.40 ⁴ = 0.0768

ف(X=2) = ₅ ج ₂ * 0.60 ² * (1-0.60) ^5-2 = 10 * 0.36 * 0.40 ³ = 0.2304

بعد ذلك، دعونا نعوض هذه القيم في الصيغة التالية لإيجاد احتمال أن يجيب على ثلاثة أسئلة على الأقل بشكل صحيح:

• ف(X≥3) = 1 – ف(X=0) – ف(X=1) – ف(X=2)
• ف(X≥3) = 1 – 0.01024 – 0.0768 – 0.2304
• ف(X≥3) = 0.6826

احتمال أن يجيب على ثلاثة أسئلة على الأقل من أصل خمسة أسئلة بشكل صحيح هو 0.6826 .

المكافأة: احتمال وجود ثلاث آلات حاسبة على الأقل

استخدم هذه الآلة الحاسبة للعثور تلقائيًا على احتمالية النجاح “ثلاثة على الأقل”، استنادًا إلى احتمالية النجاح في تجربة معينة والعدد الإجمالي للمحاولات.