كيفية العثور على احتمال واحد على الأقل؟ نجاح
يخبرنا الاحتمال بمدى احتمالية وقوع حدث ما.
على سبيل المثال، لنفترض أن 4% من جميع الطلاب في مدرسة معينة يفضلون الرياضيات باعتبارها المادة المفضلة لديهم. إذا اخترنا طالبًا عشوائيًا، فإن احتمال تفضيله للرياضيات سيكون 4%.
لكننا غالبًا ما نهتم بالاحتمالات التي تتضمن تجارب متعددة . على سبيل المثال، إذا اخترنا ثلاثة طلاب عشوائيًا، فما احتمال أن يفضل واحد منهم على الأقل الرياضيات؟
يمكننا استخدام الخطوات التالية للإجابة على هذا السؤال:
1. أوجد احتمال أن الطالب لا يفضل الرياضيات.
نحن نعلم أن احتمال أن يفضل الطالب الرياضيات هو P (يفضل الرياضيات) = 0.04.
وبالتالي، فإن احتمال أن الطالب لا يفضل الرياضيات هو P (لا يفضل الرياضيات) = 0.96.
2. أوجد احتمال أن جميع الطلاب الذين تم اختيارهم لا يفضلون الرياضيات.
وبما أن احتمال تفضيل كل طالب للرياضيات مستقل عن الآخر، فيمكننا ببساطة ضرب الاحتمالات الفردية معًا:
P(ليس كل الطلاب يفضلون الرياضيات) = 0.96 * 0.96 * 0.96 = 0.8847.
ويمثل هذا احتمال أن الطلاب الثلاثة لا يفضلون الرياضيات كمادة مفضلة لديهم.
3. أوجد احتمال أن يفضل طالب واحد على الأقل الرياضيات.
وأخيرًا، يتم حساب احتمال أن يفضل طالب واحد على الأقل الرياضيات على النحو التالي:
P(واحد على الأقل يفضل الرياضيات) = 1 – P(لا يفضل الجميع الرياضيات) = 1 – .8847 = .1153 .
اتضح أنه يمكننا استخدام الصيغة العامة التالية لإيجاد احتمال نجاح واحد على الأقل في سلسلة من التجارب:
P(at least one success) = 1 - P(failure in one trial) n
في الصيغة أعلاه، يمثل n العدد الإجمالي للتجارب.
على سبيل المثال، كان بإمكاننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد احتمال أن يكون طالب واحد على الأقل في عينة عشوائية مكونة من ثلاثة طلاب يفضل الرياضيات كمادة مفضلة له:
P (طالب واحد على الأقل يفضل الرياضيات) = 1 – (0.96) 3 = 0.1153 .
يتطابق هذا مع الإجابة التي حصلنا عليها باستخدام العملية المكونة من ثلاث خطوات أعلاه.
استخدم الأمثلة التالية كممارسة إضافية لتحديد احتمالية نجاح “واحد على الأقل”.
ذات صلة: كيفية العثور على احتمالية النجاح “اثنين على الأقل”.
مثال 1: محاولات الرمية الحرة
يقوم مايك بـ 20% من محاولات الرمية الحرة. إذا نفذ خمس رميات حرة، فأوجد احتمال أن ينفذ رمية واحدة على الأقل.
حل:
- P(يقوم بمحاولة واحدة على الأقل) = 1 – P(يفشل في محاولة معينة) n
- P(تكون واحدة على الأقل) = 1 – (0.80) 5
- P(يجعل واحدًا على الأقل) = 0.672
احتمال قيام مايك بتنفيذ رمية حرة واحدة على الأقل من كل خمس محاولات هو 0.672 .
المثال 2: الحاجيات
في مصنع معين، 2% من جميع الأدوات معيبة. في عينة عشوائية مكونة من 10 عناصر واجهة مستخدم، حدد احتمال وجود عيب في واحدة منها على الأقل.
حل:
- P (واحد معيب على الأقل) = 1 – P (القطعة المعطاة ليست معيبة) n
- P(معيب واحد على الأقل) = 1 – (0.98) 10
- P(معيب واحد على الأقل) = 0.183
احتمال وجود عنصر واجهة مستخدم واحد على الأقل معيب في عينة عشوائية مكونة من 10 هو 0.183 .
مثال 3: أسئلة تافهة
يجيب بوب على 75% من الأسئلة التافهة بشكل صحيح. إذا سألناه 3 أسئلة تافهة، أوجد احتمال أن يجيب على سؤال واحد على الأقل بشكل خاطئ.
حل:
- P(خطأ واحد على الأقل) = 1 – P(الإجابة الصحيحة) n
- P (خطأ واحد على الأقل) = 1 – (0.75) 3
- P (خطأ واحد على الأقل) = 0.578
احتمال أن يجيب على سؤال واحد على الأقل بشكل خاطئ هو 0.578 .
المكافأة: حاسبة احتمالية “واحد على الأقل”
استخدم هذه الآلة الحاسبة للعثور تلقائيًا على احتمالية النجاح “واحدة على الأقل”، استنادًا إلى احتمالية النجاح في تجربة معينة والعدد الإجمالي للمحاولات.
About Author
دكتور بنيامين أندرسون
مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر