احداث حصرية متبادلة

نوضح هنا ما هي الأحداث المتنافية. سترى أيضًا أمثلة على الأحداث المتنافية وكيفية حساب احتمالية حدوثها. وأخيرًا، ستتعرف على الاختلافات بين الأحداث الحصرية وأنواع الأحداث الأخرى.

ما هي الأحداث الحصرية المتبادلة؟

الأحداث المتنافية هي نتائج تجربة عشوائية لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت. بمعنى آخر، يكون الحدثان متنافيين عندما لا يكون بينهما حدث واحد مشترك.

تسمى الأحداث المتنافية أيضًا بالأحداث المتنافية .

وتجدر الإشارة إلى أنه لا يكفي ألا يقع حدثان في وقت واحد لكي يكونا متنافيين؛ إذا كان هناك أي احتمال لوقوع مثل هذه الأحداث في وقت واحد، فإنها لم تعد أحداثًا من هذا النوع. لكي يكون الحدثان متنافيين، يجب أن يكون احتمال وقوعهما معًا صفرًا.

أمثلة على الأحداث الحصرية المتبادلة

بمجرد أن رأينا تعريف الأحداث المتنافية، يمكنك أدناه رؤية عدة أمثلة لهذا النوع من الأحداث لفهم معناها بشكل كامل.

على سبيل المثال، الحدثان “الصورة” و “الكتابة” في رمية العملة المعدنية متنافيتان، حيث أنهما لن يحدثا في وقت واحد أبدًا.

يمكننا أيضًا العثور على أمثلة أخرى لأحداث متنافية في رمي النرد. عندما نلقي حجر النرد، هناك ست نتائج محتملة (1، 2، 3، 4، 5، 6)، ولكن يمكننا رمي رقم واحد فقط، وبالتالي فإن النتائج الست متنافية.

احتمال الأحداث الحصرية المتبادلة

إن احتمال وقوع حدثين متنافيين في نفس الوقت هو صفر، حيث أن الحدثين، بحكم التعريف، لا يمكن أن يتواجدا معًا. وبالتالي، فإن تقاطع حدثين متنافيين هو المجموعة الفارغة.

ومن ناحية أخرى، فإن احتمال وقوع حدث من زوج من الأحداث المتنافية هو مجموع احتمالات وقوع كل حدث .

لكي تتمكن من معرفة كيفية حساب احتمال وقوع حدثين متنافيين، نترك لك تمرينًا تم حله أدناه.

• في صندوق، نضع 5 كرات خضراء و4 كرات صفراء و2 كرات زرقاء. ما احتمال إزالة كرة برتقالية أو كرة زرقاء من الصندوق؟

من الواضح أن الأحداث الثلاثة “رسم كرة خضراء” و “رسم كرة صفراء” و “رسم كرة زرقاء” متنافية لأنها لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت. ولذلك، لإيجاد احتمال “سحب كرة خضراء أو كرة زرقاء”، يجب علينا أولاً حساب احتمالات الحدثين بشكل منفصل ثم جمعهما معًا.

وهكذا نحسب احتمال سحب كرة خضراء من الصندوق بتطبيق قانون لابلاس:

ثم نجد احتمال الحصول على كرة زرقاء:

وبالتالي فإن الاحتمال الإجمالي لالتقاط كرة خضراء أو كرة زرقاء سيكون مجموع الاحتمالين المحسوبين:

أحداث متنافية وغير حصرية

ومن الناحية المنطقية، فإن الفرق بين الأحداث المتنافية والأحداث غير المتنافية هو حصريتها. لا يمكن أن يحدث حدثان متنافيان في نفس الوقت، ولكن يمكن أن يقع حدثان غير متنافيين في وقت واحد.

على سبيل المثال، عند سحب بطاقة عشوائية في إحدى الألعاب، يكون الحدثان “ارسم بطاقة ماسية” و “ارسم بطاقة قلب ” متنافيين، حيث لا يمكن لأي بطاقة أن تكون بطاقة ماسية وبطاقة قلب في نفس الوقت.

على العكس من ذلك، باتباع نفس المثال، فإن حدثي “سحب بطاقة ماسية” و “سحب بطاقة برقم أقل من 7” لا ينفي أحدهما الآخر، حيث أن هناك العديد من البطاقات التي تحقق هذين الشرطين.

أحداث متنافية ومتكاملة

الفرق بين حدثين متنافيين وحدثين متكاملين هو ما إذا كانا حدثين متنافيين مجتمعين أم لا. الأحداث المتنافية لا يجب أن تكون متنافية بشكل جماعي، في حين أن الأحداث المكملة تكون كذلك دائمًا.

أي أن حدثين متنافيين هما نتيجتان مختلفتان لتجربة لا يمكن أن يحدثا فيها في نفس الوقت، ولكن لا يزال من الممكن أن يحدث فيها حدث آخر. على العكس من ذلك، يكون الحدثان متكاملين عندما يكونان النتيجتين الوحيدتين المحتملتين لتجربة عشوائية ولا يمكن أن يحدثا في وقت واحد.

على سبيل المثال، هناك حدثان متكاملان لرمي النرد هما “رمي رقم أقل من أو يساوي 3” و “رمي رقم أكبر من 3” . لكن حدثين متنافيين هما “الحصول على الرقم 1” و “الحصول على الرقم 2” ، نظرًا لأن حدوث أحدهما يعني عدم إمكانية حدوث الآخر، ومع ذلك، لا يزال بإمكاننا الحصول على أرقام أخرى من نفس الرمية.

في النهاية، جميع الأحداث التكميلية متنافية ، لكن الحدثين المتعارضين ليسا متكاملين بالضرورة.

الأحداث الحصرية المتبادلة والأحداث المستقلة

في هذا القسم، نريد شرح الاختلافات بين الأحداث المتنافية والأحداث المستقلة، حيث أن هذين المفهومين يجب أن يكونا واضحين عند دراسة الاحتمالات والإحصائيات.

الفرق بين الأحداث المتنافية والأحداث المستقلة هو أن الأحداث المتنافية لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت. وبدلا من ذلك، يمكن أن تحدث أحداث مستقلة في نفس الوقت، ولكن احتمال وقوع حدث واحد لا يؤثر على الحدث الآخر.

على سبيل المثال، عند رمي قطعة نقود مرتين متتاليتين، يكون الحدثان “الصورة عند الرمية الأولى” و “الصورة عند الرمية الثانية” مستقلين، حيث أن حقيقة وقوع حدث ما لا تؤثر على احتمالية وقوع الحدث الآخر. لكن هذين الحدثين لا يستبعد أحدهما الآخر، لأن كليهما يمكن أن يحدث.

من ناحية أخرى، إذا رمينا العملة مرة واحدة فقط، فإن حدثي «الصورة» و «الكتابة» أصبحا الآن متنافيين لأنهما لن يحدثا أبدًا في نفس الوقت.