كيفية تفسير الاعتراض في نموذج الانحدار: مع الأمثلة
يمثل التقاطع (يسمى أحيانًا “الثابت”) في نموذج الانحدار متوسط قيمة متغير الاستجابة عندما تكون جميع متغيرات التوقع في النموذج مساوية للصفر.
يشرح هذا البرنامج التعليمي كيفية تفسير القيمة الأصلية في الانحدار الخطي البسيط ونماذج الانحدار الخطي المتعددة.
تفسير التقاطع في الانحدار الخطي البسيط
يأخذ نموذج الانحدار الخطي البسيط الشكل التالي:
ŷ = β 0 + β 1 (س)
ذهب:
- ŷ: القيمة المتوقعة لمتغير الاستجابة
- β 0 : القيمة المتوسطة لمتغير الاستجابة عندما تكون x = 0
- β 1 : متوسط التغير في متغير الاستجابة لزيادة وحدة واحدة في x
- x: قيمة المتغير التنبؤي
في بعض الحالات يكون من المنطقي تفسير قيمة التقاطع في نموذج انحدار خطي بسيط، ولكن ليس دائمًا. الأمثلة التالية توضح ذلك.
مثال 1: الاعتراض منطقي للتفسير
لنفترض أننا نريد ملاءمة نموذج انحدار خطي بسيط باستخدام ساعات الدراسة كمتغير متوقع ودرجات الامتحان كمتغير الاستجابة.
نقوم بجمع هذه البيانات لـ 50 طالبًا في دورة جامعية معينة ونتناسب مع نموذج الانحدار التالي:
درجة الامتحان = 65.4 + 2.67 (ساعة)
قيمة الحد الأصلي في هذا النموذج هي 65.4 . وهذا يعني أن متوسط درجة الامتحان هو 65.4 عندما يكون عدد الساعات المدروسة صفراً.
وهذا أمر منطقي للتفسير لأنه من المعقول أن يدرس الطالب لمدة صفر ساعة للامتحان.
مثال 2: الاعتراض لا معنى له في التفسير
لنفترض أننا نريد ملاءمة نموذج انحدار خطي بسيط باستخدام الوزن (بالجنيه) كمتغير متوقع والارتفاع (بالبوصة) كمتغير الاستجابة.
نقوم بجمع هذه البيانات لـ 50 فردًا ونطبق نموذج الانحدار التالي:
الارتفاع = 22.3 + 0.28 (جنيه)
قيمة الحد الأصلي في هذا النموذج هي 22.3 . وهذا يعني أن متوسط طول الشخص هو 22.3 بوصة عندما يكون وزنه صفرًا.
هذا ليس له أي معنى في التفسير لأنه من غير الممكن أن يزن الشخص صفر رطل.
ومع ذلك، مازلنا بحاجة إلى الاحتفاظ بالمصطلح الأصلي في النموذج حتى نتمكن من استخدام النموذج للتنبؤ. التقاطع ببساطة ليس له تفسير ذو معنى لهذا النموذج.
تفسير الاعتراض في الانحدار الخطي المتعدد
يأخذ نموذج الانحدار الخطي المتعدد الشكل التالي:
ŷ = β 0 + β 1 (x 1 ) + β 2 (x 2 ) + β 3 (x 3 ) + … + β k (x k )
ذهب:
- ŷ: القيمة المتوقعة لمتغير الاستجابة
- β 0 : القيمة المتوسطة لمتغير الاستجابة عندما تكون كافة المتغيرات المتوقعة صفراً
- β j : متوسط التغير في متغير الاستجابة لزيادة بمقدار وحدة واحدة في متغير التوقع j، على افتراض أن جميع المتغيرات التوقعية الأخرى تظل ثابتة.
- x j : قيمة المتغير التنبئي j
على غرار الانحدار الخطي البسيط، يكون من المنطقي أحيانًا تفسير قيمة التقاطع في نموذج الانحدار الخطي المتعدد، ولكن ليس دائمًا. الأمثلة التالية توضح ذلك.
مثال 1: الاعتراض منطقي للتفسير
لنفترض أننا نريد ملاءمة نموذج الانحدار الخطي المتعدد باستخدام ساعات الدراسة والامتحانات التحضيرية التي يتم إجراؤها كمتغيرات متوقعة ودرجات الامتحانات كمتغير الاستجابة.
نقوم بجمع هذه البيانات لـ 50 طالبًا في دورة جامعية معينة ونتناسب مع نموذج الانحدار التالي:
نتيجة الامتحان = 58.4 + 2.23 (ساعات) + 1.34 (عدد الاختبارات التحضيرية)
قيمة الحد الأصلي في هذا النموذج هي 58.4 . وهذا يعني أن متوسط درجة الامتحان هو 58.4 عندما يكون عدد الساعات المدروسة وعدد الامتحانات الإعدادية يساوي صفرًا.
من المنطقي تفسير هذا لأنه من المعقول أن يدرس الطالب لمدة صفر ساعة ولا يأخذ أي اختبارات إعدادية قبل الامتحان نفسه.
مثال 2: الاعتراض لا معنى له في التفسير
لنفترض أننا نريد ملاءمة نموذج الانحدار الخطي المتعدد باستخدام اللقطات المربعة وعدد غرف النوم كمتغيرات متوقعة وسعر البيع كمتغير الاستجابة.
نقوم بجمع هذه البيانات لـ 100 منزل في مدينة معينة ونطبق نموذج الانحدار التالي:
السعر = 87,244 + 3.44 (قدم مربع) + 843.45 (عدد غرف النوم)
قيمة الحد الأصلي في هذا النموذج هي 87.244 . وهذا يعني أن متوسط سعر بيع المنزل هو 87,244 دولارًا أمريكيًا عندما تكون المساحة المربعة للمنزل وعدد غرف النوم مساوية للصفر.
هذا ليس له أي معنى في التفسير لأنه من غير الممكن أن يحتوي المنزل على صفر قدم مربع وصفر غرف نوم.
ومع ذلك، مازلنا بحاجة إلى الاحتفاظ بالمصطلح الأصلي في النموذج لاستخدامه في التنبؤ. التقاطع ببساطة ليس له تفسير ذو معنى لهذا النموذج.
مصادر إضافية
مقدمة إلى الانحدار الخطي البسيط
مقدمة في الانحدار الخطي المتعدد
كيفية تفسير معاملات الانحدار الجزئي
About Author
دكتور بنيامين أندرسون
مرحبًا، أنا بنجامين، أستاذ الإحصاء المتقاعد الذي تحول إلى مدرس متخصص في Statorials. بفضل خبرتي الواسعة في مجال الإحصاء، فأنا حريص على مشاركة معرفتي لتمكين الطلاب من خلال Statorials. تعرف أكثر