ما هو افتراض التباين المتساوي في الإحصاء؟

العديد من الاختبارات الإحصائية تفترض التباين المتساوي . وإذا لم يتم احترام هذا الافتراض، تصبح نتائج الاختبار غير موثوقة.

تشمل الاختبارات والإجراءات الإحصائية الأكثر شيوعًا التي تجعل افتراض التباين المتساوي هذا ما يلي:

1. أنوفا

2. اختبارات t

3. الانحدار الخطي

يشرح هذا البرنامج التعليمي الافتراض الذي تم وضعه لكل اختبار، وكيفية تحديد ما إذا تم استيفاء هذا الافتراض، وماذا تفعل إذا تم انتهاكه.

افتراض مساواة التباين في تحليل التباين (ANOVA).

يتم استخدام ANOVA (“تحليل التباين”) لتحديد ما إذا كان هناك فرق كبير بين متوسطات ثلاث مجموعات مستقلة أو أكثر أم لا.

فيما يلي مثال على متى يمكننا استخدام ANOVA:

لنفترض أننا قمنا بتجنيد 90 شخصًا للمشاركة في تجربة فقدان الوزن. قمنا بتعيين 30 شخصًا بشكل عشوائي لاستخدام البرنامج A أو B أو C لمدة شهر.

لمعرفة ما إذا كان للبرنامج تأثير على فقدان الوزن، يمكننا إجراء تحليل التباين (ANOVA) أحادي الاتجاه .

تفترض ANOVA أن كل مجموعة لها تباين متساوٍ. هناك طريقتان لاختبار مدى صحة هذه الفرضية:

1. قم بإنشاء مخططات مربعة.

توفر Boxplots طريقة مرئية للتحقق من افتراض المساواة في الفروق.

يمكن ملاحظة التباين في فقدان الوزن في كل مجموعة من خلال طول كل قطعة مربعة. كلما زاد طول الصندوق، زاد التباين. على سبيل المثال، يمكننا أن نرى أن التباين أعلى قليلاً بالنسبة للمشاركين في البرنامج (ج) مقارنةً بالبرنامج (أ) والبرنامج (ب).

2. إجراء اختبار بارتليت.

يختبر اختبار بارتليت الفرضية الصفرية القائلة بأن العينات لها تباينات متساوية مقابل الفرضية البديلة القائلة بأن العينات ليس لها تباينات متساوية.

إذا كانت القيمة p للاختبار أقل من مستوى معين من الأهمية (مثل 0.05)، فلدينا دليل على أن العينات لا تحتوي جميعها على تباينات متساوية.

ماذا يحدث إذا لم يتم استيفاء افتراض التباين المتساوي؟

بشكل عام، تعتبر تحليلات التباين (ANOVAs) قوية إلى حد ما ضد انتهاكات افتراض التباينات المتساوية طالما أن كل مجموعة لها نفس حجم العينة.

ومع ذلك، إذا كانت أحجام العينات ليست هي نفسها وتم انتهاك هذا الافتراض بشدة، فيمكنك بدلاً من ذلك تشغيل اختبار Kruskal-Wallis ، وهو الإصدار غير المعلمي من ANOVA أحادي الاتجاه.

افتراض التباين المتساوي في اختبارات t

يتم استخدام اختبار t المكون من عينتين لاختبار ما إذا كانت متوسطات مجتمعين متساويتين أم لا.

ويفترض الاختبار أن الفروق متساوية بين المجموعتين. هناك طريقتان لاختبار مدى صحة هذه الفرضية:

1. استخدم قاعدة النسبة الأساسية.

بشكل عام، إذا كانت نسبة التباين الأكبر إلى أصغر التباين أقل من 4، فيمكننا أن نفترض أن التباينات متساوية تقريبًا ونستخدم اختبار t للعينتين.

على سبيل المثال، لنفترض أن العينة 1 بها تباين قدره 24.5 والعينة 2 بها تباين قدره 15.2. سيتم حساب نسبة أكبر تباين في العينة إلى أصغر تباين في العينة على النحو التالي: 24.5 / 15.2 = 1.61.

وبما أن هذه النسبة أقل من 4، فيمكن افتراض أن الاختلافات بين المجموعتين متساوية تقريبًا.

2. قم بإجراء اختبار F.

يختبر اختبار F الفرضية الصفرية القائلة بأن العينات لها تباينات متساوية مقابل الفرضية البديلة القائلة بأن العينات لا تحتوي على تباينات متساوية.

إذا كانت القيمة p للاختبار أقل من مستوى معين من الأهمية (مثل 0.05)، فلدينا دليل على أن العينات لا تحتوي جميعها على تباينات متساوية.

ماذا يحدث إذا لم يتم استيفاء افتراض التباين المتساوي؟

إذا تم انتهاك هذا الافتراض، فيمكننا إجراء اختبار Welch’s t ، وهو نسخة غير معلمية من اختبار t المكون من عينتين ولا يفترض أن العينتين لهما تباينات متساوية.

افتراض التباين المتساوي في الانحدار الخطي

يستخدم الانحدار الخطي لتحديد العلاقة بين واحد أو أكثر من متغيرات التوقع ومتغير الاستجابة.

يفترض الانحدار الخطي أن البقايا لها تباين ثابت عند كل مستوى من متغير (متغيرات) التوقع. وهذا ما يسمى المثلية . عندما لا يكون الأمر كذلك، تعاني البقايا من عدم تجانس النتائج وتصبح نتائج تحليل الانحدار غير موثوقة.

الطريقة الأكثر شيوعًا لتحديد ما إذا كان هذا الافتراض قد تم استيفاءه هي إنشاء مخطط للقيم المتبقية مقابل القيم المجهزة. إذا بدا أن البقايا في هذا الرسم البياني متناثرة بشكل عشوائي حول الصفر، فمن المحتمل أن يكون افتراض التجانس قد تحقق.

ومع ذلك، إذا كان هناك اتجاه منتظم في البقايا، مثل الشكل “المخروطي” في الرسم البياني التالي، فإن التغايرية تمثل مشكلة:

ماذا يحدث إذا لم يتم استيفاء افتراض التباين المتساوي؟

إذا تم انتهاك هذا الافتراض، فإن الطريقة الأكثر شيوعًا لحل المشكلة هي تحويل متغير الاستجابة باستخدام أحد التحويلات الثلاثة:

1. تحويل السجل: تحويل متغير الاستجابة من y إلى log(y) .

2. تحويل الجذر التربيعي: تحويل متغير الاستجابة من y إلى √y .

3. تحويل الجذر التكعيبي: تحويل متغير الاستجابة من y إلى y ^1/3 .

ومن خلال إجراء هذه التحولات، تختفي مشكلة التغايرية بشكل عام.

هناك طريقة أخرى لتصحيح التغايرية وهي استخدام انحدار المربعات الصغرى المرجحة . يقوم هذا النوع من الانحدار بتعيين وزن لكل نقطة بيانات بناءً على تباين قيمتها المجهزة.

بشكل أساسي، يعطي هذا أوزانًا منخفضة لنقاط البيانات التي تحتوي على تباينات أعلى، مما يقلل من مربعاتها المتبقية. عند استخدام الأوزان المناسبة، يمكن أن يؤدي ذلك إلى القضاء على مشكلة عدم التجانس.

مصادر إضافية

الفرضيات الثلاث التي صيغت في تحليل التباين (ANOVA).
الفرضيات الأربع التي تمت صياغتها في اختبار T
الافتراضات الأربعة للانحدار الخطي