التقريب العادي ذو الحدين: التعريف والمثال

إذا _ _ _ _ _

• μ = نب
• σ = √ np(1-p)

لقد تبين أنه إذا كانت n كبيرة بدرجة كافية، فيمكننا استخدامالتوزيع الطبيعي لتقريب الاحتمالات المتعلقة بالتوزيع ذي الحدين. وهذا ما يسمى التقريب ذو الحدين العادي .

لكي يكون n “كبيرًا بدرجة كافية”، يجب أن يستوفي المعايير التالية:

• نب ≥ 5
• ن(1-ع) ≥ 5

عند استيفاء كلا المعيارين، يمكننا استخدام التوزيع الطبيعي للإجابة على الأسئلة الاحتمالية المتعلقة بالتوزيع ذي الحدين.

ومع ذلك، فإن التوزيع الطبيعي هو توزيع احتمالي مستمر في حين أن التوزيع ذي الحدين هو توزيع احتمالي منفصل، لذلك نحن بحاجة إلى تطبيق تصحيح الاستمرارية عند حساب الاحتمالات.

ببساطة، تصحيح الاستمرارية هو الاسم الذي يطلق على إضافة أو طرح 0.5 من قيمة x منفصلة.

على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد إيجاد احتمال سقوط العملة على رؤوس أقل من أو تساوي 45 مرة على مدار 100 رمية. أي أننا نريد إيجاد P(X ≥ 45). لاستخدام التوزيع الطبيعي لتقريب التوزيع ذي الحدين، سنجد بدلاً من ذلك P(X ≥ 45.5).

يوضح الجدول التالي متى يجب عليك إضافة أو طرح 0.5، اعتمادًا على نوع الاحتمال الذي تحاول العثور عليه:

يوضح المثال التالي خطوة بخطوة كيفية استخدام التوزيع الطبيعي لتقريب التوزيع ذي الحدين.

مثال: التقريب العادي ذو الحدين

لنفترض أننا نريد معرفة احتمال سقوط العملة على رؤوس أقل من أو تساوي 43 مرة في 100 رمية.

في هذه الحالة لدينا القيم التالية:

• ن (عدد التجارب) = 100
• × (عدد النجاحات) = 43
• ع (احتمال النجاح في تجربة معينة) = 0.50

لحساب احتمال سقوط العملة على رؤوس أقل من أو تساوي 43 مرة يمكننا استخدام الخطوات التالية:

الخطوة 1: التحقق من أن حجم العينة كبير بما يكفي لاستخدام التقريب العادي.

بادئ ذي بدء، نحتاج إلى التحقق من استيفاء المعايير التالية:

• نب ≥ 5
• ن(1-ع) ≥ 5

في هذه الحالة لدينا:

• نب = 100*0.5 = 50
• ن(1-ع) = 100*(1 – 0.5) = 100*0.5 = 50

كلا الرقمين أكبر من 5، لذا يمكننا استخدام التقريب الطبيعي بأمان.

الخطوة 2: تحديد تصحيح الاستمرارية المراد تطبيقه.

وبالرجوع إلى الجدول أعلاه نرى أنه ينبغي إضافة 0.5 عند التعامل مع الاحتمالية على شكل X ≥ 43. وبالتالي سنجد P(X< 43.5).

الخطوة 3: ابحث عن المتوسط (μ) والانحراف المعياري (σ) للتوزيع ذي الحدين.

μ = ن*ع = 100*0.5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

الخطوة 4: ابحث عن درجة z باستخدام المتوسط والانحراف المعياري الموجود في الخطوة السابقة.

ض = (س – μ) / σ = (43.5 – 50) / 5 = -6.5 / 5 = -1.3.

الخطوة 5: ابحث عن الاحتمال المرتبط بدرجة z.

يمكننا استخدام حاسبة CDF العادية لنجد أن المساحة الواقعة تحت المنحنى الطبيعي القياسي على يسار -1.3 هي 0.0968 .

لذا فإن احتمال ظهور العملة المعدنية بصور أقل من أو يساوي 43 مرة في 100 رمية هو 0.0968 .

يوضح هذا المثال ما يلي:

• كان لدينا موقف حيث يتبع متغير عشوائي توزيعًا ذا الحدين.
• أردنا إيجاد احتمال الحصول على قيمة معينة لهذا المتغير العشوائي.
• وبما أن حجم العينة (ن = 100 تجربة) كان كبيرا بما فيه الكفاية، فقد تمكنا من استخدام التوزيع الطبيعي لتقريب التوزيع ذي الحدين.

هذا مثال كامل لكيفية استخدام التقريب العادي للعثور على الاحتمالات المتعلقة بالتوزيع ذي الحدين.